Тема 18. Задачи с параметром
18.01 Задачи №18 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#56124

Найдите все значения параметра a,  при каждом из которых уравнение

√-----           √ -----
 4x− 3⋅ln(5x − a)=  4x− 3⋅ln(6x+ a)

имеет ровно один корень на отрезке [0;1].

Источники: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Уравнение на отрезке [0;1]  равносильно

                                       ⌊ (
                                         |{√4x-−-3= 0
                                       ||  5x− a >0
{√ -----                               || |(6x+ a >0
   4x− 3⋅(ln(5x− a)− ln(6x + a))= 0   ⇔   ||| (ln(5x − a)= ln(6x + a)
 0 ≤x ≤ 1                              || |||{
                                       ||  5x− a >0
                                       ⌈ |||(0 ≤x ≤ 1
                                          4x− 3 ≥0

После преобразований получаем следующую совокупность:

⌊(
 ||x1 = 3
||{     4
||||(a < 5x
|||(a > −6x
||||{x2 = −2a
|⌈ a < 5x
 ||( 3≤ x≤ 1
   4

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет всем условиям, находящимся с ним в системе. В противном случае будем называть число плохим.

Найдем a,  при которых число x1  — хорошее:

(
|{a < 5⋅ 3          9      15
|      4      ⇔   −2 < a< -4
(a > −6⋅ 34

Найдем a,  при которых число x2  — хорошее:

({ 3
  4 ≤ −2a ≤1    ⇔   − 1 ≤ a≤ − 3
(a < 5⋅(− 2a)         2       8

В таком случае нам подходят ситуации, когда x1  — хорошее, x2  — плохое, или наоборот, а также ситуация, когда x1 = x2  — хорошее.

x
 1  — хорошее, а x
 2  — плохое, если

(
|||− 9 < a< 15
||{⌊ 2      4            (       )  (      )
|  a< − 1       ⇔   a ∈  − 9;− 1 ∪ − 3; 15
|||||⌈      2                 2   2      8  4
(  a> − 38

x2  — хорошее, а x1  — плохое, если

(⌊
||| a ≤ − 9
|{|⌈     2
|| a ≥ 145        ⇔   a ∈∅
||(− 1≤ a ≤− 3
   2       8

x1 = x2  — хорошее, если

(
|{ 3= −2a                 3
| 41       3     ⇔   a= −8
(− 2 ≤a ≤ −8

Тогда исходное уравнение имеет ровно один корень на указанном отрезке при

   (      )   [     )
      9  1      3 15
a∈  − 2;−2  ∪  −8; 4  .
Ответ:

   (       )  [      )
a ∈  − 9;− 1 ∪ − 3; 15
      2   2      8 4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

 Обоснованно получен верный ответ

4

С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет

3

С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения

2

ИЛИ

в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений

В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений

1

ИЛИ

в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!