Задача №78014: Логарифмические неравенства с числовым основанием — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 15. Решение неравенств

15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78014

Решите неравенство

-------45------- -----14------ (log22x + 6log2x)2 + log22 x+ 6log2x + 1≥ 0.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= log22x +6log2x,$ тогда

45 14 t2 + t + 1 ≥0,

t2+-14t+-45 ≥ 0, t2

(t+-9)(2t+-5)≥ 0. t

Воспользуемся методом интервалов

$PIC$

Обратная замена.
1 случай.

t≤ − 9,

log22x+ 6log2x≤ −9,

log2x +6log x+ 9≤ 0, 2 2

(log x+ 3)2 ≤0, 2

log2x+ 3= 0,

log2x= − 3,

x= 2−3,

1 x= 8.

2 случай.

−5≤ t< 0,

−5 ≤ log22x+ 6log2x< 0.

Пусть $a = log2x,$ тогда

{a2 + 6a + 5≥ 0, a2+ 6a < 0

{ (a +1)(a+ 5)≥ 0, a(a +6)< 0

Решением первого неравенства является $a∈ (− ∞;− 5]∪ [− 1;+ ∞ ),$ второго — $a∈ (−6;0).$ Пересечение этих множеств показано на картинке:

$PIC$

Обратная замена. Основание логарифма $2 > 1,$ поэтому знак неравенства сохраняется:
Случай 2.1.

−6 <a ≤ −5,

− 6< log x ≤− 5, 2

-1 1- log264 < log2x ≤log232,

-1 <x ≤ 1-. 64 32

Случай 2.2.

−1≤ a <0,

−1 ≤log x< 0, 2

1 log2 2 ≤ log2x < log21,

1 ≤ x< 1. 2

3 случай.

t> 0,

log2x+ 6log x > 0. 2 2

Пусть $a = log2x,$ тогда

2 a +6a > 0,

a(a+ 6)> 0,

его решением является $a ∈(−∞; −6)∪ (0;+∞ ).$ Обратная замена. Основание логарифма $2> 1,$ поэтому знак неравенства сохраняется.
Либо

a <− 6,

log2x< − 6,

log2x <log2-1, 64

x < 1-, 64

либо

a> 0,

log2x > 0,

log2x> log2 1,

x> 1.

Объединяя все случаи, получаем окончательный ответ.

Ответ:

$( ) ( ] [ ) x ∈ 0; 1 ∪ -1;-1 ∪{1} ∪ 1 ;1 ∪(1;+∞ ) 64 64 32 8 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ