Логарифмические неравенства с числовым основанием —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#493

Решите неравенство

2 log2x ≥ 1+ log2x

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{ x2 > 0 ⇔ x >0 x> 0

При $x> 0$ исходное неравенство равносильно неравенствам

log2x2 ≥ log22+ log2x ⇔ log2x2 ≥ log22x 2 x ≥ 2x ⇔ x(x− 2)≥ 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

То есть получаем

x ∈(− ∞;0]∪[2;+∞ )

С учетом $x> 0$ получаем решение исходного неравенства

x ∈[2;+∞ )

Ответ:

$[2;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#492

Решите неравенство

2 log2x ≥ 1

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

2 x > 0 ⇔ x ⁄= 0

При $x⁄= 0$ исходное неравенство равносильно неравенству

2 log2x ≥log22 x2 ≥2

Отсюда получаем

( √-] [√ - ) x ∈ −∞;− 2 ∪ 2;+ ∞

Сюда не вошёл $x= 0,$ следовательно, это и есть ответ.

Ответ:

$(− ∞;− √2]∪ [√2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2669

Решите неравенство

2 log2x+ 3log2x+ 3≤ 1

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 0.$

Исходное неравенство равносильно неравенству

2 log2x+ 3log2x+ 2≤ 0

Сделаем замену $t =log x: 2$

t2+ 3t+ 2≤ 0 ⇔ (t+ 1)(t+ 2) ≤0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда $t∈ [−2;−1].$

Тогда $− 2 ≤ log2x≤ − 1,$ что равносильно

1 1 1 1 log24 ≤log2x≤ log2 2 ⇔ 4 ≤ x≤ 2

С учётом ОДЗ получим

x ∈ [0,25;0,5]

Ответ:

$[0,25;0,5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2353

Решите неравенство

log3x + log x ≥ 0 5 5

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0$ .

Сделаем замену $t = log5 x$ :

3 2 t + t ≥ 0 ⇔ t(t + 1) ≥ 0

Так как $2 t ≥ 0$ , то $2 t + 1 ≥ 1 > 0$ , следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству

t ≥ 0,

откуда

log5 x ≥ 0 ⇔ log5x ≥ log5 1 ⇔ x ≥ 1.

С учётом ОДЗ ответ: $x ∈ [1;+ ∞ )$ .

Ответ:

$[1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#85240

Решите неравенство

log (2x− 1) ⋅log1(2x+1 − 2)> − 2 2 2

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

log2(2x− 1)⋅(− log2(2(2x− 1))) >− 2 x x − log2(2 − 1)⋅(log2(2 − 1)+1) >− 2

После замены $x y = log2(2 − 1)$ неравенство примет вид

2 y + y− 2< 0 ⇔ − 2< y < 1

Сделаем обратную замену:

−2< log(2x−1)< 1 ⇔ 1< 2x−1 <2 ⇔ 5< 2x < 3 ⇔ log 5 < x< log 3 2 4 4 24 2

Ответ:

$( ) log 5 ;log 3 24 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#78015

Решите неравенство

log (5x2− 17x + 12) log 12 --3log-(x2−-16)---≤ log--(17x2−-16). 3 17

Показать ответ и решение

ОДЗ определяют три неравенства:

(5x2− 17x+ 12> 0, |||{ 2 x − 162 >0, |||(log3(x 2− 16)⁄= 0, log17(x − 16)⁄= 0

Решим эту систему:

( |{ 5(x − 1)(x− 152)> 0, | (x − 4)(x+ 4)> 0, ( x2− 16⁄= 1,

(| 5(x − 1)(x− 12)> 0, ||{ (x − 4)(x+ 45)> 0, | x⁄= √17, ||( √ -- x⁄= − 17

Окончательно получаем, что

x∈ (− ∞;− √17)∪ (− √17;−4)∪ (4;√17)∪ (√17;+ ∞ ),

так как очевидно, что $√ -- 17> 4.$
Применим формулу перехода к новому основанию:

logx2−16(5x2− 17x+ 12)≤ logx2− 1612,

Применим метод рационализации к логарифмической функции:

(x2− 16− 1)⋅((5x2− 17x+ 12)− 12) ≤0,

(x2− 17)(5x2− 17x)≤ 0,

(x− √17)(x+ √17)5x(x − 3,4)≤ 0.

С учетом ОДЗ находим решение неравенства

$PIC$

Ответ:

$√ -- √-- x ∈(− 17;− 4)∪(4; 17)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#78014

Решите неравенство

-------45------- -----14------ (log22x + 6log2x)2 + log22 x+ 6log2x + 1≥ 0.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $t= log22x +6log2x,$ тогда

45 14 t2 + t + 1 ≥0,

t2+-14t+-45 ≥ 0, t2

(t+-9)(2t+-5)≥ 0. t

Воспользуемся методом интервалов

$PIC$

Обратная замена.
1 случай.

t≤ − 9,

log22x+ 6log2x≤ −9,

log2x +6log x+ 9≤ 0, 2 2

(log x+ 3)2 ≤0, 2

log2x+ 3= 0,

log2x= − 3,

x= 2−3,

1 x= 8.

2 случай.

−5≤ t< 0,

−5 ≤ log22x+ 6log2x< 0.

Пусть $a = log2x,$ тогда

{a2 + 6a + 5≥ 0, a2+ 6a < 0

{ (a +1)(a+ 5)≥ 0, a(a +6)< 0

Решением первого неравенства является $a∈ (− ∞;− 5]∪ [− 1;+ ∞ ),$ второго — $a∈ (−6;0).$ Пересечение этих множеств показано на картинке:

$PIC$

Обратная замена. Основание логарифма $2 > 1,$ поэтому знак неравенства сохраняется:
Случай 2.1.

−6 <a ≤ −5,

− 6< log x ≤− 5, 2

-1 1- log264 < log2x ≤log232,

-1 <x ≤ 1-. 64 32

Случай 2.2.

−1≤ a <0,

−1 ≤log x< 0, 2

1 log2 2 ≤ log2x < log21,

1 ≤ x< 1. 2

3 случай.

t> 0,

log2x+ 6log x > 0. 2 2

Пусть $a = log2x,$ тогда

2 a +6a > 0,

a(a+ 6)> 0,

его решением является $a ∈(−∞; −6)∪ (0;+∞ ).$ Обратная замена. Основание логарифма $2> 1,$ поэтому знак неравенства сохраняется.
Либо

a <− 6,

log2x< − 6,

log2x <log2-1, 64

x < 1-, 64

либо

a> 0,

log2x > 0,

log2x> log2 1,

x> 1.

Объединяя все случаи, получаем окончательный ответ.

Ответ:

$( ) ( ] [ ) x ∈ 0; 1 ∪ -1;-1 ∪{1} ∪ 1 ;1 ∪(1;+∞ ) 64 64 32 8 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#73289

Решите неравенство

log5(3x− 13) -log5(x−-4)-≥ 1.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( (| 13 ( |{3x − 13 > 0, |{x > 3 , {x > 13, |(x − 4> 0, ||x > 4, ( 3 log5(x − 4)⁄= 0 (x − 4 ⁄= 1 x ⁄= 5

Итоговая ОДЗ: $( ) x∈ 13-;5 ∪(5;+∞ ). 3$

Переходим к решению неравенства. Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю.

log (3x − 13) lo5g-(x-−-4)-− 1 ≥ 0, 5

log5(3x− 13) − log5(x − 4) ------log5(x−-4)-------≥ 0.

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции.

(5-− 1)((3x-− 13)−-(x−-4))-≥ 0, (5− 1)(x − 4− 1)

2x−-9 ≥0. x − 5

$PIC$

С учетом ОДЗ:

$PIC$

( ] x∈ 13; 9 ∪ (5;+∞ ). 3 2

Ответ:

$( ] x ∈ 13; 9 ∪ (5;+ ∞) 3 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#73287

Решите неравенство

2 2 x log343(x + 3) ≤log7(x +6x +9).

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ { x2+3 > 0, x +3 >20, x> − 3 x +6x +9 > 0 (x+ 3) > 0

Чтобы воспользоваться методом рационализации, у логарифмов должны быть одинаковые основания. Заметим, что $343= 73,$ и по свойствам логарифма вынесем степень из основания.

2 2 x log73(x+ 3)− log7(x + 3)≤ 0,

x2 3-log7 (x +3)− 2log7(x +3) ≤0.

Полезное замечание. После вынесения четной степени из аргумента правого логарифма модуль не ставится, так как аргумент левого логарифма уже задает ОДЗ, что $(x +3)$ будет строго больше $0.$

( ) x2 3 − 2 ⋅log7(x+ 3)≤ 0,

1 ⋅(x2− 6)⋅log7(x+ 3)≤ 0. 3

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

2 (x − 6)(7 − 1)(x+ 3− 1)≤ 0,

√- √ - (x − 6)(x + 6)(x +2)≤ .0

$PIC$

С учетом ОДЗ:

$PIC$

√ - √- x ∈(−3;− 6]∪[−2; 6].

Ответ:

$√ - √- x ∈(−3;− 6]∪[−2; 6]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#72211

Решите неравенство

2x−1 x−1 log3(2 − 3⋅2 + 1)< 1.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

2x−1 x−1 2 − 3⋅2 + 1> 0,

2x x 0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 + 1> 0,

2x x 2 − 3⋅2 + 2 >0.

Сделаем замену $2x = t:$

t2− 3t+2 > 0,

2 t − t− 2t+ 2> 0,

t(t− 1) − 2(t− 1) > 0,

(t− 2)(t− 1)> 0.

По методу интервалов получаем:

$[t< 1, t> 2.$

Обратная замена:

$[ 2x < 1, 2x > 2.$

$[ x< 0, x> 1.$

Таким образом, область допустимых значений состоит из двух интервалов: $x ∈(−∞; 0)∪ (1;+∞ ).$

Переходим к решению неравенства. Представим единичку как $log 3: 3$

2x−1 x−1 log3(2 − 3⋅2 + 1)< log33.

Потенцируем обе части неравенства, сохраняя знак неравенства, так как основание $3> 1:$

2x−1 x−1 2 − 3⋅2 + 1< 3,

2x x 0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 − 2< 0,

22x− 3⋅2x− 4 <0.

Сделаем замену $x 2 = t:$

t2− 3t− 4 < 0,

t2 +t− 4t− 4< 0,

t(t+ 1) − 4(t+ 1) < 0,

(t− 4)(t+ 1)< 0.

По методу интервалов получаем:

{ t> −1, t< 4.

Обратная замена:

{ 2x > −1, 2x < 4.

x< 2.

Найдём пересечение между ОДЗ и полученными решениями рационального неравенства:

$PIC$

Ответ:

$(−∞; 0)∪(1;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#72114

Решите неравенство

log (2x2− 17x +35)− 1 --2--log-(x+-6)------≤ 0. 7

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(| x+ 6> 0 { 2x2 − 17x +35 >0 |( log7(x +6) ⁄=0

( |{x > −6 |((2x− 7)(x − 5) >0 log7(x +6)⁄= log71

( |{x > −6 |(2x− 7)(x − 5) >0 (log7(x +6)⁄= log71

(|x > −6 { |((2x− 7)(x − 5) > 0 x ⁄= −5

Итоговая ОДЗ: $(−6;−5)∪ (− 5;3.5) ∪(5;+ ∞ ).$

Решим неравенство с помощью метода рационализации:

log (2x2− 17x+ 35)− log 2 --2-log-(x+-6)−-log-1--2-≤ 0, 7 7

(2 − 1)(2x2− 17x +35 − 2) ---(7−-1)(x-+-6−-1)----≤0,

2x2-− 17x-+33- x +5 ≤ 0,

(2x−-11)(x−-3)≤ 0. x +5

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$-31+–+–51 2$

Сопоставим решение неравенства с ОДЗ:

$-35-355.56.5$

Нас интересуют промежутки пересечения ОДЗ (зеленые дуги) и решения неравенства(красные дуги): $x ∈(− 6;− 5)∪ [3;3,5) ∪(5;5,5].$

Ответ:

$x ∈(−6;−5)∪ [3;3,5)∪ (5;5,5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#72113

Решите неравенство

5log2x− 100 -log22x−-25-≥ 4. 2

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

{x >0 2 log2x − 25⁄= 0

{ x> 0 (log2 x− 5)(log2x +5) ⁄=0

( |{ x> 0 |( log2x− 5 ⁄=0 log2x+ 5 ⁄=0

(|{ x> 0 log x⁄= log 25 |( log2x⁄= log22− 5 2 2

(|x > 0 { |(x ⁄= 312 x ⁄= 32

Итоговая ОДЗ: $(0;-1)∪ (1;32)∪ (32;+∞ ). 32 32$

Для решения неравенства приведем дроби к общему знаменателю:

5log2x − 100 − 4(log2x − 25) ---2-----2------2-------≥0, log2 x− 25

---log2x⋅log2x-----≥ 0, (log2x− 5)(log2x + 5)

(log x− 0)⋅(log x− 0) -(lo2g-x−-5)(log-2x-+-5)-≥ 0. 2 2

Применим метод рационализаци в числителе и знаменателе:

-(log2x−-log21)⋅(log2x−-log2-1)- (log2x − log232)(log2x − log2 132) ≥ 0,

(2−-1)(x−-1)⋅(2−-1)(x−-1)- (2 − 1)(x− 32)(2− 1)(x − 132) ≥0,

---(x−-1)2--- (x− 32)(x− 312) ≥ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$-1 313+––+22$

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет: $x ∈ (0; 132)∪{1}∪ (32;+ ∞).$

Ответ:

$(0; 132) ∪{1}∪ (32;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#72112

Решите неравенство

log (25x) log x − 2 6− log x4 log5x−-2-+ log5(25x) ≥ log2x5−-4 . 5 5 5

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(| 25x > 0 |||| x> 0 |||{ 4 x > 0 ||||| log5x− 2⁄= 0 |||( log5(25x) ⁄=0 log25x− 4⁄= 0

( ||| x> 0 { log5x− 2 ⁄=0 ||| 2+ log5x ⁄=0 ( log25x− 4 ⁄=0

Заметим, что $2 log5x− 4= (log5x − 2)(log5x+ 2),$ поэтому наша система примет вид:

( |{ x> 0 log5x− 2 ⁄=0 |( log5x+ 2 ⁄=0

( |{ x> 0 log5x⁄= log525 |( log x⁄= log 5− 2 5 5

(|x > 0 {x ⁄= 25 |( 1- x ⁄= 25

Итоговая ОДЗ: $(0; 125)∪(125;25) ∪(25;+ ∞ ).$

Перейдем к решению самого неравенства:

2 4 log55-+-log5x+ --log25x−-2--− 6-− l2og5x-≥ 0, log5 x− 2 log55 +log5x log5x − 4

2+-log5x-+ log5x−-2-− 6−-42log5|x|≥ 0. log5x− 2 2+ log5x log5x− 4

В данном неравенстве $log5|x|=log5x,$ так как в ОДЗ входят только положительные $x.$

2+-log5x- log5x−-2- ----6−-4log5x----- log5x− 2 + 2+ log5x − (log5x− 2)(log5x + 2) ≥ 0.

Замена $log5x= t:$

2+-t+ t−-2 − --6-− 4t--≥ 0. t− 2 2 +t (t− 2)(t+ 2)

Приведем дроби к общему знаменателю:

(t+-2)2-+(t−-2)2-− (6−-4t) (t− 2)(t+ 2) ≥ 0,

t2-+4t+-4+-t2−-4t+4-− 6-+4t-≥0, (t− 2)(t+ 2)

2 -2t-+4t+-2-≥ 0, (t− 2)(t+ 2)

2 -t-+-2t+-1-≥ 0, (t− 2)(t+ 2)

--(t+-1)2--- (t− 2)(t+ 2) ≥ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

$--2+––+21$

$t∈ (− ∞;− 2)∪(2;+∞ )∪{− 1}.$

Сделаем обратную замену:

⌊ t< −2 |⌈ t> 2 t= −1

⌊log5 x< −2 |⌈ log x > 2 5 log5 x= −1

⌊log5 x< log55−2 |⌈ log5 x> log52 −1 log5 x= log55

Основание $5> 1,$ следовательно, знак неравенства сохраняется:

⌊ 1 |x< 25 |||x >25 ⌈ 1 x = 5

И с учетом ОДЗ получаем: $1 1 x∈ (0;25)∪ {5}∪(25;+∞ ).$

Ответ:

$x ∈(0; 125)∪{15} ∪(25;+ ∞)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#71198

Решите неравенство

2 log8(x − 4x+ 3)≤ 1

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ (аргумент логарифмической функции всегда положителен). Применим метод группировки:

x2− 4x+ 3> 0 x2− x − 3x+ 3> 0 x(x− 1)− 3(x − 1)> 0 (x− 1)(x − 3)> 0

Используя метод интервалов, получаем ОДЗ:

x ∈ (− ∞;1)∪ (3;+∞ )

Перейдём к решению неравенства. Представим единицу в правой части в виде логарифма $1= log88$ и проведём потенцирование. Основание логарифма $8> 1,$ значит, знак неравенства сохраняется:

2 log8(x − 4x+ 3)≤ log88 x2− 4x+ 3≤ 8 x2− 4x− 5≤ 0

Рассмотрим уравнение $2 x − 4x− 5= 0$ и найдём его корни через формулу дискриминанта:

D = 16+ 20= 62 4+ 6 4 − 6 x1 = -2--= 5; x2 =--2- = −1

По методу интервалов решениями неравенства будут $x∈ [− 1;5].$

Заметим, что все решения логарифмического неравенства должны лежать в ОДЗ. Тогда пересечём ОДЗ и полученные решения рационального неравенства:

$x−1351$

Общей частью двух множеств являются два полуинтервала

[−1;1), (3;5]

Ответ:

$x ∈[−1;1)∪(3;5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#71195

Решите неравенство

log0,2(4− 2x)> −1

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ, а именно условия положительности аргумента логарифмической функции:

4− 2x> 0 4> 2x 2> x

Перейдём к решению неравенства. Представим минус единицу как

− 1 ( 1)−1 −1 = log0,20,2 = log15 5 = log15 5

Далее проведём потенцирование. Так как основания логарифмов $0,2< 1,$ то знак неравенства меняется на противоположный:

log0,2(4− 2x)> log0,2 5 4− 2x< 5 −1 < 2x −0,5 < x

Заметим, что все решения логарифмического неравенства должны лежать в ОДЗ. Тогда пересечём ОДЗ и решения рационального неравенства выше:

$x−20,5$

Общей частью двух множеств является интервал

(−0,5;2)

Ответ:

$x ∈(−0,5;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#46566

Решите неравенство

log1((3− x)(x2 +8))≤ log 1(x2− 7x+ 12)+ log1(4− x) 9 9 9

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно системе

$pict$

Решим неравенство $(x− 3)(x − 4) >0$ методом интервалов:

$PIC$

Отсюда получаем $x∈ (−∞; 3)∪(4;+∞ ).$

Используем метод рационализации для первого неравенства системы и получим:

$pict$

Отсюда окончательно имеем $x∈ [1;3).$

Ответ:

$[1;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#45225

Решите неравенство

log2(x4)− 28log (x2)≤ 8 5 0,04

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( {x4 > 0 ( 2 ⇔ x ⁄= 0 x > 0

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что $0,04= 5−2,$ следовательно,

log0,04(x2)= − 1 log5(x2) 2

Также заметим, что

log2(x4)= (2log |x2|)2 = 4log2(x2) 5 5 5

Тогда неравенство принимает вид

4 log25(x2)+ 14log5(x2)− 8 ≤ 0 ⇔ 2log25(x2) +7log5(x2)− 4≤ 0

Сделаем замену $log (x2)= t, 5$ тогда получим квадратичное неравенство

2 2t + 7t− 4 ≤0

Найдем корни квадратичного трехчлена $2t2+ 7t− 4 :$

−7-±9- 1 D = 49+ 4⋅2 ⋅4 = 81 ⇒ t= 4 ⇒ t= −4;2

Следовательно, неравенство равносильно

1 (2t− 1)(t+ 4)≤ 0 ⇔ −4 ≤ t≤ 2

Сделаем обратную замену:

1 − 4≤ log5(x2)≤ 2 ⇔ 1-≤ x2 ≤ √5 ⇔ 54 ⌊ √- 1 |− 45 ≤ x≤ − 25- |⌈ 1 √ - 25 ≤ x≤ 45

Полученные значения удовлетворяют ОДЗ, следовательно,

[ ] [ ] x∈ −√45; −0,04 ∪ 0,04;√45-

Ответ:

$[− 4√5;−0,04]∪[0,04; 4√5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#20869

Решите неравенство

(2x+1 x+2 ) x log2|2x−1|2 − 2 +2 ≤ |2x−-1|

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение под знаком логарифма:

2x+1 x+2 x2 x x 2 2 − 2 + 2 =2((2) − 2⋅2 + 1)= 2(2 − 1)

Найдем ОДЗ данного неравенства:

$pict$

Вернемся к решению неравенства с учетом того, что $x ⁄= 1, 2$ то есть $|2x− 1|⁄= 0:$

$pict$

Обозначим $x t =2 ,$ тогда неравенство примет вид

$pict$

Отсюда получаем

$pict$

Учитывая ОДЗ, то есть $x⁄= 0, x ⁄= 12,$ получим окончательно

( 1 ) (1 ] x ∈[−1;0)∪ 0;2 ∪ 2;1

Ответ:

$( 1 ) (1 ] [−1;0)∪ 0;2 ∪ 2;1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#18625

Решите неравенство

2 2 2 (log3x +log3x) < 8log3x +8 log3x− 12

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 0.$

Решим на ОДЗ. Сделаем замену $t= log3x :$

(t2+ t)2 < 8t2+ 8t− 12 ⇔ (t2+ t)2 < 8(t2 +t)− 12

Сделаем замену $s = t2+ t:$

s2 < 8s− 12 ⇔ s2− 8s+ 12< 0 ⇔ (s− 6)(s− 2)< 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда $2< s< 6,$ тогда

$pict$

Пересечем полученное множество с ОДЗ:

( 1 1) x∈ 27;9 ∪ (3;9)

Ответ:

$(-1 1) 27;9 ∪(3;9)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#18558

Решите неравенство

2 log0,25(5− 5x)≤ log0,25(x − 3x + 2) +log4(x+ 4)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

$pict$

Из последней системы получаем

x ∈(− 4;1)

Теперь вернемся к исходному неравенству:

$pict$

Из ОДЗ имеем $x> −4,$ то есть можем домножить обе части неравенства на $x + 4> 0,$ знак неравенства при этом сохранится:

(x+ 3)(x − 1) ≤0 ⇔ x∈ [− 3;1]

Учтем ОДЗ:

$pict$

Ответ:

$x ∈[−3;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».