Тема 15. Решение неравенств
15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72112

Решите неравенство

log (25x)   log x − 2  6− log x4
log5x−-2-+ log5(25x) ≥ log2x5−-4 .
  5         5          5
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(| 25x > 0
|||| x> 0
|||{  4
  x > 0
||||| log5x− 2⁄= 0
|||( log5(25x) ⁄=0
  log25x− 4⁄= 0

(
||| x> 0
{ log5x− 2 ⁄=0
||| 2+ log5x ⁄=0
( log25x− 4 ⁄=0

Заметим, что    2
log5x− 4= (log5x − 2)(log5x+ 2),  поэтому наша система примет вид:

(
|{ x> 0
  log5x− 2 ⁄=0
|( log5x+ 2 ⁄=0

(
|{ x> 0
  log5x⁄= log525
|( log x⁄= log 5− 2
    5      5

(|x > 0
{x ⁄= 25
|(    1-
 x ⁄= 25

Итоговая ОДЗ: (0; 125)∪(125;25) ∪(25;+ ∞ ).

Перейдем к решению самого неравенства:

    2                               4
log55-+-log5x+ --log25x−-2--− 6-− l2og5x-≥ 0,
  log5 x− 2    log55 +log5x   log5x − 4

2+-log5x-+ log5x−-2-− 6−-42log5|x|≥ 0.
log5x− 2   2+ log5x    log5x− 4

В данном неравенстве log5|x|=log5x,  так как в ОДЗ входят только положительные x.

2+-log5x-  log5x−-2-  ----6−-4log5x-----
log5x− 2 + 2+ log5x − (log5x− 2)(log5x + 2) ≥ 0.

Замена log5x= t:

2+-t+ t−-2 − --6-− 4t--≥ 0.
t− 2  2 +t   (t− 2)(t+ 2)

Приведем дроби к общему знаменателю:

(t+-2)2-+(t−-2)2-− (6−-4t)
      (t− 2)(t+ 2)      ≥ 0,

t2-+4t+-4+-t2−-4t+4-− 6-+4t-≥0,
       (t− 2)(t+ 2)

  2
-2t-+4t+-2-≥ 0,
(t− 2)(t+ 2)

  2
-t-+-2t+-1-≥ 0,
(t− 2)(t+ 2)

--(t+-1)2---
(t− 2)(t+ 2) ≥ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

--2+––+21

t∈ (− ∞;− 2)∪(2;+∞ )∪{− 1}.

Сделаем обратную замену:

⌊
 t< −2
|⌈ t> 2
 t= −1

⌊log5 x< −2
|⌈ log x > 2
    5
 log5 x= −1

⌊log5 x< log55−2
|⌈ log5 x> log52
            −1
 log5 x= log55

Основание 5> 1,  следовательно, знак неравенства сохраняется:

⌊    1
|x< 25
|||x >25
⌈    1
 x = 5

И с учетом ОДЗ получаем:       1    1
x∈ (0;25)∪ {5}∪(25;+∞ ).

Ответ:

x ∈(0; 125)∪{15} ∪(25;+ ∞)

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!