Тема 15. Решение неравенств
15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#78013

Решите неравенство

2log(x+3)22+ log16(x +3)≥ 2,125.
Показать ответ и решение

ОДЗ определяют три неравенства:

(| (x+ 3)2 > 0,
{      2
|( (x+ 3) ⁄= 1,
  x+ 3 >0,

решая которые находим, что x∈ (−3;−2)∪ (− 2;+ ∞ ).
Так как на ОДЗ x +3 > 0,  получаем

2 log(x+3)2 2+ log24(x + 3) ≥2,125,

2⋅ 1 logx+32+ 1 ⋅log2(x+ 3)≥ 2,125,
  2         4

8logx+3 2+ 2log2(x+ 3)≥ 17,

8⋅ ---1-----+ 2log2(x+ 3)≥ 17.
   log2(x+ 3)

Пусть t= log2(x + 3),  тогда

8
t +2t− 17≥ 0,

2t2−-17t+8
     t     ≥ 0.

Найдем нули квадратного трехчлена:

2t2− 17t+8 = 0,

D = (−17)2− 4 ⋅2⋅8= 225,

        √---
t1 = 17−--225=  17-− 15-= 1,
      2⋅2        4     2

        √---
t1 = 17+-225-= 17+-15= 8.
      2 ⋅2       4

Воспользуемся методом интервалов

    1
2(t−-2)(t− 8)-≥0.
     t

PIC

Обратная замена. Обращаем внимание на то, что основание логарифма 2 > 1,  поэтому знак неравенства сохраняется:
1 случай.

       1
0 <t ≤ 2,

0< log2(x + 3) ≤ 1,
               2

                       12
log21< log2(x+ 3)≤ log22 ,

1< x +3 ≤ √2,

− 2< x≤ √2 − 3.

2 случай.

t≥ 8,

log2(x+ 3)≥ 8,

log2(x+ 3)≥ log228,

x + 3≥ 256,

x≥ 253.

С учётом ОДЗ

PIC

получаем x∈ (−2;−3+ √2]∪ [253;+∞ ).

Ответ:

   (        √-]
x ∈ − 2;− 3+  2 ∪ [253;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!