Задача №502: Логарифмические неравенства с переменным основанием — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 15. Решение неравенств

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#502

Найдите все такие $x ∈ ℝ$ , которые являются решениями неравенства

log e + log e + ...+ log e ≥ 0 x (x+1) (x+N)

при любых $N ∈ ℕ.$

Показать ответ и решение

Зафиксируем произвольное $N ∈ ℕ$ .

ОДЗ:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 |||{ x + 1 > 0 { x > 0 | x + 1 ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 1 |||| ... ||| ||| x + N > 0 ( x + N ⁄= 1

На ОДЗ:

1 1 1 logx e + log(x+1)e + ...+ log(x+N )e ≥ 0 ⇔ ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Рассмотрим отдельно случаи $x ∈ (0;1 )$ и $x ∈ (1;+∞ )$ .

1) $x ∈ (1;+ ∞ )$ , тогда

ln x > 0, ln(x + 1) > 0, ..., ln(x + N ) > 0,

следовательно,

1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- > 0. lnx ln (x + 1) ln(x + N )

Таким образом, все $x ∈ (1;+ ∞ )$ идут в ответ.

2) $0 < x < 1$ .
Так как искомые $x$ должны удовлетворять исходному неравенству при любых $N ∈ ℕ$ , то они должны удовлетворять ему и при $N = 1$ . Рассмотрим этот случай отдельно:

-1-- ----1---- lnx + ln(x + 1) ≥ 0

Так как $0 < x < 1$ , то $ln x < 0$ , а $ln(x + 1) > 0$ , следовательно, последнее неравенство равносильно неравенству

ln(x + 1) + ln x ≤ 0 ⇔ ln (x (x + 1)) ≤ ln 1 ⇔ x (x + 1) ≤ 1 ⇔ ⇔ x2 + x − 1 ≤ 0

По методу интервалов на $(0;1)$ :

$PIC$

Таким образом, $x ∈ (0; √5-−-1-] 2$ .

Для всякого $N ∈ ℕ$ , $N > 1$ при $( ] √5-− 1 x ∈ 0; ------- 2$ :

-1-- ---1----- ---1----- ----1----- lnx + ln (x + 1 ) ≥ 0, ln(x + 2) > 0, ..., ln (x + N ) > 0,

следовательно,

1 1 1 ----+ ---------+ ...+ ---------- ≥ 0, lnx ln (x + 1) ln(x + N )

то есть $( ] √ -- x ∈ 0;--5-−-1 2$ идут в ответ.

Так как мы рассмотрели все $x$ из ОДЗ, то других решений быть не может и окончательный ответ:

( √ -- ] x ∈ 0;--5-−-1 ∪ (1;+ ∞ ). 2

Ответ:

$( √ -- ] 0;0,5 5 − 0,5 ∪ (1; +∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ