Задача №2551: Логарифмические неравенства с переменным основанием — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 15. Решение неравенств

15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2551

Решите неравенство

−1 2 logx(2x--)-⋅ logx-(2x-) log2xx ⋅ log2x−2 x < 40

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ всех логарифмов:

( || x > 0 ||| ||| x ⁄= 1 ( ) ( ) { 2x −1 > 0 1- 1- √ -- √ -- | 2x2 > 0 ⇔ x ∈ 0;2 ∪ 2;1 ∪ (1; 2) ∪ ( 2;+ ∞ ) ||| |||| 2x ⁄= 1 ( 2x −2 ⁄= 1

Решим неравенство на ОДЗ. В числителе оба логарифма распишем по формуле $loga (bc) = loga b + logac$ , а в знаменателе – по формуле $loga b = --1--- logb a$ , а затем по первой формуле:

(logx 2 + logx x− 1) ⋅ (logx 2 + logxx2) (logx2 − 1)(logx2 + 2) --------1----------------1----------< 40 ⇒ -----1----------1------< 40 --------------⋅--------------−2 ----------⋅---------- logx 2 + logx x logx 2 + logx x logx 2 + 1 logx2 − 2

Сделаем замену: $log 2 = t x$ . Тогда неравенство примет вид:

(t − 1)(t + 1)(t − 2)(t + 2) < 40 ⇒ (t2 − 1)(t2 − 4) < 40 ⇒ t4 − 5t2 − 36 < 0

Сделаем еще одну замену: $t2 = z$ . Тогда неравенство станет квадратичным:

z2 − 5z − 36 < 0 ⇒ (z + 4)(z − 9) < 0

Подставим вместо $2 z = t$ :

2 (t + 4)(t − 3)(t + 3) < 0

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ:

t ∈ (− 3;3)

Сделаем обратную замену:

( { { 3 |{ logx(2x3) > 0 logx2 > − 3 ⇒ logx 2 + logx x > 0 ⇒ ( ) logx2 < 3 logx 2 − logx x3 < 0 |( logx -2- < 0 x3

Каждое неравенство можно решить методом рационализации:

( 3 ( |{ (x − 1)(2x − 1) > 0 |{ (x − 1)(2x3 − 1) > 0 ( 2 ) ⇒ 3 |( (x − 1) ---− 1 < 0 |( (x − 1) ⋅ 2 −-x-< 0 x3 x3

Решая каждое неравенство методом интервалов, получим:

( ( ) | -1-- ( ) { x ∈ − ∞; 3√ -- ∪ (1;+ ∞ ) -1-- √3-- | √2-- ⇔ x ∈ 0;3√2-- ∪ ( 2;+ ∞ ) ( x ∈ (0;1) ∪ ( 32;+ ∞ )

Теперь осталось пересечь полученный ответ с ОДЗ:

( ) ( ) (√ --√ -) √ -- x ∈ 0; 1 ∪ 1;√1-- ∪ 32; 2 ∪ ( 2;+ ∞ ) 2 2 32

Ответ:

$( ) ( ) (3√ --√ -) √ -- 0; 12 ∪ 12; 13√2- ∪ 2; 2 ∪ ( 2;+∞ )$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse