Тема 15. Решение неравенств
15.06 Логарифмические неравенства с переменным основанием
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20621

Решите неравенство

       2⋅4x− 15 ⋅2x + 23
logx2+1 -4x−-9⋅2x+-14--≥ 0
Показать ответ и решение

Заметим, что  2
x +1 > 1  при x⁄= 0  , а значит мы можем опустить логарифм с учетом того, что при x= 0  выражение не имеет смысла:

pict

Для начала решим второе неравенство системы:

   x      x                     x2      x
2⋅4x-−-15⋅2x-+-23− 1 ≥0   ⇔   2⋅(2x)2-−-15⋅x2-+-23− 1 ≥0
  4 − 9 ⋅2 + 14               (2 ) − 9 ⋅2 +14

Обозначим 2x = t, t> 0  , тогда неравенство примет вид

2t2− 15t+-23            -t2-− 6t+-9-         --(t− 3)2--
 t2− 9t+ 14 − 1 ≥0  ⇔   (t− 2)(t− 7) ≥0  ⇔    (t− 2)(t− 7) ≥0

Решим последнее неравенство методом интервалов:

PIC

Получим t∈ (0;2)∪(7;+∞ )∪ {3} .

Вернемся к исходным обозначениям:

pict

Тогда система примет вид

pict

Отсюда окончательно получаем

x ∈(−∞; 0)∪(0;1)∪(log27;+∞ )∪ {log23}
Ответ:

(− ∞;0)∪ (0;1)∪ (log27;+ ∞)∪ {log23}

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!