Задача №2569: Метод рационализации — Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 15. Решение неравенств

15.07 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2569

Решите неравенство

( 1) x ⋅ log1 4 − 3 ⋅ 3x > 1 3

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

1 1 4 − 3 ⋅ 3x > 0 ⇔ 3 x < 4- ⇔ 3 1x log3(43) 1- 4- ⇔ 3 < 3 ⇔ x < log33 ⇔ 1 − x ⋅ log 4 x − log43 ⇔ ----------33-< 0 ⇔ -------3--> 0 ⇔ x x ( ) ⇔ x ∈ (− ∞; 0) ∪ log 43;+ ∞ 3

Решим неравенство на ОДЗ. Его можно преобразовать так:

( ( ) ) ( ( ) ) x ⋅ − log 4 − 3 ⋅ 31x − 1- > 0 ⇔ x ⋅ log 4 − 3 ⋅ 3 1x + log 3 1x < 0 3 x 3 3

Так как $logab + logac = loga(bc)$ , то

( 1 ( 1)2) x ⋅ log3 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3 x < 0

По методу рационализации на ОДЗ данное неравенство равносильно

( 1 ( 1)2 ) ( 1 ( 1 )2 ) x ⋅ (3 − 1) ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x − 1 < 0 ⇔ x ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x − 1 < 0

Найдем нули скобки. Сделаем замену $1 3x = t$ , тогда скобка примет вид $4t − 3t2 − 1$ . Чтобы найти ее нули, нужно решить уравнение $4t − 3t2 − 1 = 0$ . Его корни: $t1 = 1$ , $t2 = 1 3$ . Следовательно, выражение $2 4t − 3t − 1$ можно переписать в виде $( 1) − 3(t − 1) t − 3$ . Значит, наше неравенство примет вид

( 1 ) ( 1 1) ( 1 ) ( 1 ) x ⋅ (− 3) ⋅ 3 x − 1 ⋅ 3 x − -- < 0 ⇔ x ⋅ 3 x − 30 ⋅ 3 x − 3−1 > 0 3

По методу рационализации данное неравенство преобразуется в неравенство

( ) ( ) 1- 1- x-(x +-1) x ⋅ (3 − 1) ⋅ x − 0 ⋅ (3 − 1) ⋅ x − (− 1) > 0 ⇔ x2 > 0

Решая полученное неравенство методом интервалов, получим ответ
$x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (0; +∞ )$ .
Пересечем данный ответ с ОДЗ и получим итоговый ответ

( ) x ∈ (− ∞; − 1) ∪ log 43;+ ∞ 3

Ответ:

$( ) x ∈ (− ∞; − 1) ∪ log43 3; +∞$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное обучениев Школково

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Бесплатное обучение
в Школково

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ