Тема 15. Решение неравенств
15.07 Метод рационализации
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1811

Решите неравенство

logx+1(x− 1)≥ 0
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(
|{ x+ 1> 0
| x+ 1⁄= 1    ⇔   x > 1
( x− 1> 0

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

logx+1(x − 1) ≥0   ⇔   (x +1 − 1)⋅(x− 1− 1)≥ 0 ⇔   x ⋅(x− 2)≥ 0

Так как на ОДЗ x> 1 >0,  то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

x− 2 ≥0   ⇔   x≥ 2

C учётом ОДЗ в итоге получаем

x ∈[2;+∞ )
Ответ:

 [2;+ ∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#503

Решите неравенство

logx2(x2+ 1)> 0
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(  2
|{ x > 0           {x ⁄= 0
| x2 ⁄= 1      ⇔     x⁄= ±1
( x2+ 1> 0

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

logx2(x2+ 1)> 0
  2      2
(x − 1)⋅(x + 1− 1)> 0
(x2− 1)⋅x2 > 0

Так как на ОДЗ x2 > 0,  то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

x2− 1> 0  ⇔   (x− 1)(x+ 1)> 0

C учётом ОДЗ окончательно получаем

x ∈ (− ∞;− 1) ∪(1;+ ∞ )
Ответ:

 (−∞; −1)∪ (1;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#75180

Снегурочка сумела решить уравнение из номера 13, однако в решении смешанного неравенства ниже у неё возникли трудности с рационализацией

2x⋅log2(x2+ 4)+ log0,5(x2+ 4)2   2x− 2
-------sin(π-+cos(π))------- > √lne-.
          2      2

Помогите Снегурочке разобраться в том, как правильно и чётко оформить решение жутко смешанного неравенства.

Показать ответ и решение

Запишем условие, определяющее ОДЗ неравенства: x2+ 4> 0,  то есть x  — любой.

Поскольку x2+ 4> 0  при любом x  , вторую степень из аргумента одного из логарифмов можем смело выносить в виде множителя перед логарифмом — ОДЗ таким действием мы не меняем:

2x⋅log2(x2+-4)+-2log0,5(x2+-4)-  2√x−-2
       sin(π2 +cos(π2))        >   ln e .

Представим 0,5  в виде степени:       −1
0,5 = 2  . Далее воспользуемся свойством        1
logacb= c logab  и получим:

 x     2            2       x
2-⋅log2(x--+π4)−-2loπg2(x-+-4)> 2√-− 2,
      sin(2 +cos(2))           lne

 x     2            2       x
2-⋅log2(x--+4)π−-2log2(x-+-4)> 2-√− 2,
        sin(2 +0)              1

2x⋅log2(x2+ 4)− 2 log2(x2+ 4)> 2x− 2,

(2x − 2)⋅log2(x2+ 4)− (2x − 2)> 0,

(2x− 2)(log(x2+ 4)− 1)> 0,
          2

(2x− 21)(log (x2+ 4)− log 2)> 0.
          2           2

По методу рационализации для показательной и логарифмической функций:

(2 − 1)(x− 1)(2− 1)(x2 +4 − 2)> 0,

(x − 1)(x2+ 2) >0.

x2+ 2  всегда больше 0, поэтому единственным нулём левой части неравенства является x= 1.  Реализуем метод интервалов:

PIC

Ответ:

x ∈(1;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#73291

Решите неравенство

  x2−x−6            x2+2x+2
(4     − 1)⋅log0,25(4      − 3)≤ 0.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

 x2+2x+2
4       − 3 > 0.

Оценим показатель степени. Вычислим его дискриминант:

D = 4− 8= − 4< 0.

Дискриминант отрицательный, значит, выражение x2+ 2x+ 2  всегда принимает положительные значения. Функция квадратичная, ее график — парабола. Минимум функции находится в вершине параболы.
     −2
xв = 2-= −1  , yв = y(−1) =1 − 2 +2 = 1,
отсюда 41 = 4  — наименьшее значение.
Тогда 4x2+2x+2− 3≥ 4− 3= 1> 0,  следовательно, областью допустимых значений является вся числовая прямая.

Переходим к решению неравенства. Для применения метода рационализации необходимо получить разность одноименных функций.

(4x2−x−6− 1)⋅log   (4x2+2x+2− 3)≤ 0,
              0,25

(4x2−x−6− 40)⋅(log0,25(4x2+2x+2− 3)− 0) ≤0,

(4x2−x−6− 40)⋅(log   (4x2+2x+2− 3)− log   1)≤ 0.
                0,25                0,25

Воспользуемся методом рационализации для показательной и логарифмической функций:

(4− 1)(x2− x − 6 − 0)⋅(0,25− 1)⋅(4x2+2x+2− 3− 1)≤ 0,

3⋅(x2− x− 6)⋅(− 0,75)⋅(4x2+2x+2 − 4)≤ 0,

3 ⋅(x2− x − 6)⋅(−0,75)⋅(4x2+2x+2− 41)≤ 0.

Еще раз воспользуемся методом рационализации для показательной фукнции:

−2,25 ⋅(x2− x − 6)⋅(4− 1)(x2+ 2x+ 2− 1)≤ 0,

−6,75 ⋅(x2− x− 6)(x2 +2x +1)≤ 0,

(x− 3)(x+ 2)(x +1)2 ≥ 0.

PIC

x∈ (−∞;− 2]∪{−1} ∪[3;+ ∞).
Ответ:

x ∈(−∞; −2]∪ {−1}∪ [3;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#73290

Решите неравенство

                2
(5x − 13)⋅log2x−5(x − 6x + 10) ≥0.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(| x2− 6x+ 10> 0,  {           (   )
{                  x > 52,      5
|( 2x− 5> 0         x ⁄= 3  x ∈  2;3  ∪(3;+∞ ).
  2x− 5⁄= 1

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

(5x− 13)⋅(log2x−5(x2− 6x+ 10)− 0)≥ 0,

(5x− 13)⋅(log2x−5(x2− 6x+ 10)− log2x−51)≥ 0,

(5x− 13)(2x− 5− 1)(x2− 6x+ 10− 1)≥ 0,

(5x− 13)(2x − 6)(x2− 6x + 9) ≥0,

(x− 13)(x− 3)(x− 3)2 ≥ 0.
     5

PIC

С учетом ОДЗ:

PIC

   (     ]
x∈   5; 13 ∪ (3;+∞ ).
     2 5
Ответ:

   (    ]
x ∈ 52; 135 ∪ (3;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#73289

Решите неравенство

log5(3x− 13)
-log5(x−-4)-≥ 1.
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(               (|    13    (
|{3x − 13 > 0,    |{x > 3 ,   {x > 13,
|(x − 4> 0,      ||x > 4,    (    3
 log5(x − 4)⁄= 0  (x − 4 ⁄= 1  x ⁄= 5

Итоговая ОДЗ:    (    )
x∈   13-;5  ∪(5;+∞ ).
     3

Переходим к решению неравенства. Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю.

log (3x − 13)
lo5g-(x-−-4)-− 1 ≥ 0,
   5

log5(3x− 13) − log5(x − 4)
------log5(x−-4)-------≥ 0.

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции.

(5-− 1)((3x-− 13)−-(x−-4))-≥ 0,
   (5− 1)(x − 4− 1)

2x−-9 ≥0.
x − 5

PIC

С учетом ОДЗ:

PIC

   (     ]
x∈   13; 9 ∪ (5;+∞ ).
     3  2
Ответ:

   (     ]
x ∈  13; 9 ∪ (5;+ ∞)
     3  2

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#73287

Решите неравенство

 2                 2
x log343(x + 3) ≤log7(x  +6x +9).
Показать ответ и решение

ОДЗ:

{               {
 x2+3 > 0,       x +3 >20,    x> − 3
 x  +6x +9 > 0   (x+ 3) > 0

Чтобы воспользоваться методом рационализации, у логарифмов должны быть одинаковые основания. Заметим, что 343= 73,  и по свойствам логарифма вынесем степень из основания.

 2                    2
x log73(x+ 3)− log7(x + 3)≤ 0,

x2
3-log7 (x +3)− 2log7(x +3) ≤0.

Полезное замечание. После вынесения четной степени из аргумента правого логарифма модуль не ставится, так как аргумент левого логарифма уже задает ОДЗ, что (x +3)  будет строго больше 0.

(      )
  x2
  3 − 2  ⋅log7(x+ 3)≤ 0,

1 ⋅(x2− 6)⋅log7(x+ 3)≤ 0.
3

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

  2
(x − 6)(7 − 1)(x+ 3− 1)≤ 0,

    √-    √ -
(x −  6)(x +  6)(x +2)≤ .0

PIC

С учетом ОДЗ:

PIC

        √ -      √-
x ∈(−3;−  6]∪[−2; 6].
Ответ:

        √ -      √-
x ∈(−3;−  6]∪[−2; 6]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72115

Решите неравенство

               2                 2
2log(x2− 8x+17)2(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x  +7x +5).
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(|(x2− 8x+ 17)2 > 0
||||3x2+ 5 >0
|||{  2        2
 (x2− 8x+ 17) ⁄= 1
|||||2x2 + 7x+ 5 >0
|||(x  − 8x +17 >0
 x2 − 8x +17 ⁄=1

Первое неравенство является следствием пятого, поэтому его можно опустить. Шестое неравенство входит в третье, поэтому его также можно исключить. Остаётся:

(  2    5
|||{ x >2 − 3    2
  (x2− 8x + 17) − 1⁄= 0
|||( 2x + 7x+ 5> 0
  x2− 8x+ 17> 0

Первое неравенство верно для любого x,  т.к. квадрат любого числа всегда неотрицательный, поэтому его можно отбросить. У четвертого неравенства D = 64− 4⋅17= − 4< 0,  то есть парабола не имеет пересечений с осью   и всегда положительна. Поэтому остается только:

{(x2− 8x+ 16)(x2− 8x+ 18)⁄= 0
 2(x+ 5)(x + 1) >0
      2

Так как у неравенства x2− 8x+ 18⁄= 0  дискриминант равен
D = 64− 4⋅8 =− 8< 0,  то решений у неравенства нет.

{
  (x − 4)2 ⁄= 0
  (x + 5)(x+ 1)> 0
      2

{x ⁄= 4
 (x+ 2,5)(x+ 1)> 0

Итоговая ОДЗ: x∈ (−∞; −2,5)∪ (−1;4)∪(4;+∞ ).

Мы уже знаем, что квадратный трехчлен x2− 8x+ 17  не имеет корней, то есть график параболы всегда находится над осью x  и всегда положителен. В соответствии с этим мы имеем право вынести из основания левого логарифма степень 2 и при этом не ставить модуль, так как при любом x  трехчлен принимает исключительно положительные значения.

2log2     (3x2+ 5)≤ log 2     (2x2+ 7x+ 5).
2  x −8x+17            x −8x+17

Теперь решим неравенство с помощью метода рационализации:

            2                 2
logx2−8x+17(3x + 5)− logx2−8x+17(2x + 7x+ 5)≤ 0,

(x2− 8x+ 17− 1)(3x2+ 5− (2x2 +7x +5))≤ 0,

(x2− 8x+ 16)(x2− 7x)≤ 0,

(x− 4)2x(x− 7)≤ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

047+––+

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет: [0;4) ∪(4;7].

Ответ:

x ∈[0;4) ∪(4;7]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#72114

Решите неравенство

log (2x2− 17x +35)− 1
--2--log-(x+-6)------≤ 0.
       7
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

(| x+ 6> 0
{ 2x2 − 17x +35 >0
|(
  log7(x +6) ⁄=0

(
|{x > −6
|((2x− 7)(x − 5) >0
 log7(x +6)⁄= log71

(
|{x > −6
|(2x− 7)(x − 5) >0
(log7(x +6)⁄= log71

(|x > −6
{
|((2x− 7)(x − 5) > 0
 x ⁄= −5

Итоговая ОДЗ: (−6;−5)∪ (− 5;3.5) ∪(5;+ ∞ ).

Решим неравенство с помощью метода рационализации:

log (2x2− 17x+ 35)− log 2
--2-log-(x+-6)−-log-1--2-≤ 0,
      7          7

(2 − 1)(2x2− 17x +35 − 2)
---(7−-1)(x-+-6−-1)----≤0,

2x2-− 17x-+33-
   x +5     ≤ 0,

(2x−-11)(x−-3)≤ 0.
    x +5

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

-31+–+–51
 2

Сопоставим решение неравенства с ОДЗ:

-35-355.56.5

Нас интересуют промежутки пересечения ОДЗ (зеленые дуги) и решения неравенства(красные дуги): x ∈(− 6;− 5)∪ [3;3,5) ∪(5;5,5].

Ответ:

x ∈(−6;−5)∪ [3;3,5)∪ (5;5,5]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#72113

Решите неравенство

5log2x− 100
-log22x−-25-≥ 4.
   2
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ для исходного неравенства:

{x >0
   2
 log2x − 25⁄= 0

{
  x> 0
  (log2 x− 5)(log2x +5) ⁄=0

(
|{ x> 0
|( log2x− 5 ⁄=0
  log2x+ 5 ⁄=0

(|{ x> 0
  log x⁄= log 25
|( log2x⁄= log22− 5
    2      2

(|x > 0
{
|(x ⁄= 312
 x ⁄= 32

Итоговая ОДЗ: (0;-1)∪ (1;32)∪ (32;+∞ ).
  32    32

Для решения неравенства приведем дроби к общему знаменателю:

5log2x − 100 − 4(log2x − 25)
---2-----2------2-------≥0,
       log2 x− 25

---log2x⋅log2x-----≥ 0,
(log2x− 5)(log2x + 5)

(log x− 0)⋅(log x− 0)
-(lo2g-x−-5)(log-2x-+-5)-≥ 0.
    2       2

Применим метод рационализаци в числителе и знаменателе:

-(log2x−-log21)⋅(log2x−-log2-1)-
(log2x − log232)(log2x − log2 132) ≥ 0,

(2−-1)(x−-1)⋅(2−-1)(x−-1)-
(2 − 1)(x− 32)(2− 1)(x − 132) ≥0,

---(x−-1)2---
(x− 32)(x− 312) ≥ 0.

Отметим нули функции на числовой прямой и применим метод интервалов:

-1
313+––+22

Решением неравенства с учетом ОДЗ будет: x ∈ (0; 132)∪{1}∪ (32;+ ∞).

Ответ:

(0; 132) ∪{1}∪ (32;+∞ )

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#61558

Решите неравенство

-----6x−-3⋅2x------≤ -4---
3x⋅x− 3x+ 5⋅3x− 15   x+ 5
Показать ответ и решение

Разложим на множители знаменатель дроби в левой части:

3x⋅x− 3x+ 5⋅3x− 15 =3x(x+ 5)− 3(x +5)= (x+ 5)(3x − 3).
----- --- ----  ---

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

 6x − 3 ⋅2x     4
(x-+5)(3x−-3)-− x+-5-≤0  ⇔

6x-− 3-⋅2x−-4⋅3x+-12≤ 0 ⇔
   (x + 5)(3x− 3)
x  x        x
3(2-−-4)−x3(2-−-4)≤ 0  ⇔
  (x+ 5)(3  − 3)
(2x− 4)(3x − 3)
(x+-5)(3x−-3)-≤0

Применим метод рационализации:

(2− 1)(x − 2)(3− 1)(x − 1)         (x − 2)(x− 1)
--(x+-5)(3-− 1)(x−-1)--≤0   ⇔   (x-+-5)(x−-1) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x−12+−−+5

Получаем ответ:

x∈ (−5;1)∪(1;2].
Ответ:

(−5;1)∪(1;2]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#61466

Решите неравенство

----10x−-8⋅5x------≤ -5---
2x⋅x+ 64− 8x− 8⋅2x   x− 8
Показать ответ и решение

Разложим на множители знаменатель дроби в левой части:

2x⋅x+ 64− 8x− 8⋅2x =2x(x− 8)− 8(x − 8)= (x− 8)(2x − 8).
----- --- --- ----

Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:

 10x− 8⋅5x     5
(x-−-8)(2x−-8) − x−-8-≤0  ⇔

10x-− 8-⋅5x−-5⋅2x+-5⋅8≤ 0 ⇔
    (x− 8)(2x− 8)
 x x        x
2(5-−-5)−x8(5--− 5)-≤0  ⇔
  (x − 8)(2 − 8)
(5x − 5)(2x − 8)
(x−-8)(2x−-8)-≤ 0

Применим метод рационализации:

(5− 1)(x − 1)(2− 1)(x − 3)         (x − 1)(x− 3)
--(x−-8)(2-− 1)(x−-3)--≤0   ⇔   (x-−-8)(x−-3) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

x138+−−+

Получаем ответ:

x∈ [1;3)∪(3;8).
Ответ:

[1;3)∪ (3;8)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#22953

Решите неравенство     (           )
logx2 2x2 − 7x + 6 ≤ 1  .

Показать ответ и решение

     (  2       )               (  2       )        2
logx2  2x  − 7x+ 6 ≤ 1   ⇔   logx2 2x − 7x+ 6  ≤ logx2 x

По методу рационализации неравенство выше равносильно системе

pict

Решим первое неравенство системы методом интервалов

PIC

Получим

(
||x ∈ [− 1;6]
|{                                              (   3)
|x ∕∈ {− 1;0;1}           ⇔    x ∈ (− 1;0)∪ (0;1) ∪ 1;2 ∪(2;6]
||(x ∈ (− ∞; 3)∪ (2;+∞ )
          2
Ответ:

              (   )
(− 1;0)∪(0;1)∪  1; 32 ∪ (2;6]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#17170

Решите неравенство

 2x+4      x+3   x+1
2   − 16⋅2   − 2   +16 ≤ 0
Показать ответ и решение

Сгруппируем слагаемые в левой части: первое с третьим и второе с четвертым:

 x+1 (x+3   )    ( x+3   )
2   2   − 1 − 16 2   − 1 ≤0
   (2x+1− 16) (2x+3− 1)≤ 0
   (       )(       )
    2x+1 − 24 2x+3− 20  ≤0

По методу рационализации скобку ax− an  можно заменить на (a − 1)(x− n).  Сделаем это для двух скобок в левой части:

(2− 1)(x +1 − 4)(2− 1)(x+ 3− 0)≤ 0

         (x − 3)(x+ 3)≤ 0

Тогда окончательно получаем x ∈[−3;3].

Ответ:

[−3;3]

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получен верный ответ

2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,

1

ИЛИ

получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: «<  » вместо «≤ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2771

Решите неравенство

  2               2
(x + 3x− 10)⋅log0,5(x  − 1)⋅log(x2−1)(x+ 2)≤ 0
Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ неравенства:

( 2
|{x  − 1 > 0               √-     √-        √ -   √-
|x2 − 1 ⁄= 1   ⇔   x∈ (−2;− 2)∪ (− 2;−1)∪ (1; 2)∪( 2;+ ∞)
(x + 2> 0

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что по формуле logab⋅logbc= logac  исходное неравенство можно переписать в виде

(x2+ 3x− 10)⋅log0,5(x+ 2)≤ 0

По методу рационализации данное неравенство равносильно неравенству

(x2+ 3x− 10)⋅(0,5 − 1)(x+ 2− 1)≤ 0 ⇔   (x + 5)(x− 2)(x +1)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов и получим

x ∈[−5;−1]∪ [2;+∞ )

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ

        √ -     √-
x ∈(−2;−  2)∪(−  2;−1)∪ [2;+∞ )
Ответ:

 (−2;−√2-)∪(−√2; −1)∪[2;+∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2724

Решите неравенство

log(x−2)(x+ 3)≥ ----1-----
              logx2(x− 2)
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(
||||x− 2 >0
||{x− 2 ⁄=1         {x >2
|x+ 3 >0     ⇔
||||x2 > 0           x ⁄=3
|(x2 ⁄= 1

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

log(x−2)(x +3)≥ log(x−2)x2  ⇔   log(x−2)(x + 3)− log(x−2)x2 ≥ 0 ⇔
           (x+ 3)
 ⇔   log(x−2)--x2--≥ 0

По методу рационализации имеем на ОДЗ:

       (x-+-3)-                  (x+-3-  )
log(x−2)  x2  ≥ 0  ⇔   (x− 2− 1)  x2  − 1 ≥ 0  ⇔
           x +3 − x2                x2− x− 3
⇔   (x− 3)⋅---x2--- ≥ 0  ⇔   (x− 3)⋅---x2--- ≤0

По методу интервалов имеем на ОДЗ:

 
PIC
 

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при

   [   √ -- )
    1-+--13
x∈     2   ;3
Ответ:

[0,5+ 0,5√13;3)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2723

Решите неравенство

---logx2(x-−-5) ⋅-ln(2x-)---
(7x − 1) ⋅ log 2  (x + 11) ≥ 0
            (x+2x)
Показать ответ и решение

ОДЗ:

(
|| x2 > 0
|||  2
||| x  ⁄= 1
|||| x − 5 > 0
|||
|{ 2x > 0
  7x − 1 ⁄= 0                   ⇔      x > 5.
|||
||| log(x2+2x)(x + 11) ⁄= 0
|||| x2 + 2x > 0
|||  2
||| x  + 2x ⁄= 1
( x + 11 > 0

По методу рационализации: на ОДЗ

   log 2(x − 5) ⋅ ln(2x )                     (x2 − 1)(x − 5 − 1)(2x − 1)
--x---x--------------------≥ 0     ⇔       --x-------2---------------------- ≥ 0.
(7  − 1) ⋅ log(x2+2x)(x + 11)                (7  − 1)(x +  2x − 1)(x + 11 − 1)

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

   x − 6
------------≥  0,
x2 + 2x − 1

что на ОДЗ равносильно

---x-−-6----≥  0,
(x + 1)2 − 2

что на ОДЗ равносильно

x − 6 ≥ 0      ⇔      x ≥ 6.

Таким образом, с учётом ОДЗ:

x ∈ [6;+∞  ).
Ответ:

[6;+ ∞ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2570

Решите неравенство

      2          2          2          2
log5(x--−-6x-−-6)--−-log11(x--−-6x-−--6)-
              4 + x − 3x2               ≥  0
Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ неравенства:

{                             {
 (x2 − 6x − 6 )2 > 0             x2 − 6x − 6 ⁄= 0
            2            ⇔        2                  ⇔
 4 + x − 3x  ⁄=  0               3x  − x − 4 ⁄= 0
                  √ --- 4-     √ ---
⇔    x ⁄= − 1; 3 −   15; 3; 3 +   15
Будем далее решать неравенство на ОДЗ (то есть как будто оно выполнено, а в конце решения полученный ответ пересечем с ОДЗ).

 

Предлагается сделать следующее: воспользоваться формулой          --1---
loga b = log  a
            b  , чтобы “перевернуть” логарифмы, тем самым у них станут одинаковые основания. НО! Данная формула верна только в том случае, когда b ⁄= 1  (так как основание логарифма не может быть равно 1  ).
Наше ОДЗ этого не учитывает. Следовательно, нужно рассмотреть два случая: когда “будущее” основание, то есть (x2 − 6x − 6)2   , равно 1  , и когда не равно.

 

1) Пусть (x2 − 6x − 6)2 = 1  :

(x2 − 6x − 6)2 = 1   ⇔    x2 − 6x − 6 = ±1    ⇔

                  √ ---     √ ---
⇔     x = − 1; 3 −  14; 3 +   14; 7
Сразу исключим значение x = − 1  , так как оно не входит в ОДЗ.
При остальных трех значениях x  числитель дроби нашего неравенства будет равен:
log5 1 − log111 = 0 − 0 = 0
Следовательно, вне зависимости от того, чему будет равен знаменатель (главное, чтобы не был равен нулю), вся дробь будет равна нулю. Так как нам нужно, чтобы эта дробь была больше или равна нулю, то данные три значения         √ ---     √ ---
x = 3 −   14; 3 +   14; 7  нам подходят.
Следовательно, их нужно будет включить в окончательный ответ.

 

2) Пусть   2          2
(x  − 6x − 6)  ⁄= 1  . Следовательно,         √ ---     √ ---
x ⁄= 3 −   14; 3 +   14; 7  .
Тогда можно воспользоваться формулой loga b = --1---
        logba  : Можно применить метод рационализации для данного неравенства. Все множители вида logab  заменяются на (a − 1)(b − 1)  ; все множители вида loga b − loga c  заменяются на (a − 1)(b − c)  :

                   ((x2 − 6x − 6)2 − 1)(11 − 5)
(3x2-−-x-−--4)((x2-−-6x-−-6-)2-−-1)(5-−-1)((x2 −-6x −-6)2 −-1-)(11-−-1)-≤ 0


       (x2 − 6x − 6 − 1)(x2 − 6x − 6 + 1)
---2-----------2-------------2--2--------------2-≤ 0
(3x  − x −  4)(x  − 6x −  6 − 1 )(x − 6x − 6 + 1)
                                √ ---           √ ---
         (x + 1)(x − 7)(x −  (3 −   14))(x − (3 +   14))
---------------------2-------2----------√-----2---------√-----2-≤ 0
(x + 1 )(3x − 4 )(x + 1) (x − 7) (x − (3 −   14)) (x −  (3 +   14))
Полученное неравенство можно решить методом интервалов:

Таким образом, ответ:     (    √ ---  )       √ ---
x ∈  3 −   14; 43 ∪ (3 +   14;7)  .

 

Теперь нужно объединить решения пунктов 1 и 2 и пересечь полученное множество с ОДЗ.
Получим окончательный ответ в неравенстве:

    [    √ --- )        √ ---    √ ---        √---
x ∈  3 −   14; 4  ∪ [3 +   14;3 +   15) ∪ (3 +  15; 7]
              3
Ответ:

[   √ ---  )       √ ---    √ ---       √ ---
 3 −  14; 43 ∪ [3 +   14;3 +   15) ∪ (3 +   15;7 ]

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2569

Решите неравенство

        (        1)
x ⋅ log1 4 − 3 ⋅ 3x >  1
      3
Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

        1              1
4 − 3 ⋅ 3x > 0  ⇔    3 x < 4-  ⇔
                           3

       1x    log3(43)         1-      4-
 ⇔    3  < 3         ⇔     x < log33    ⇔

      1 − x ⋅ log 4             x − log43
 ⇔    ----------33-< 0   ⇔     -------3-->  0   ⇔
           x                       x
                    (           )
 ⇔    x ∈ (− ∞; 0) ∪  log 43;+ ∞
                         3
Решим неравенство на ОДЗ. Его можно преобразовать так:
   (       (         )     )                (    (          )          )
x ⋅ − log   4 − 3 ⋅ 31x −  1- >  0   ⇔    x ⋅ log   4 − 3 ⋅ 3 1x + log 3 1x < 0
         3                x                     3                  3
Так как logab + logac = loga(bc)  , то
       (     1      (  1)2)
x ⋅ log3 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3 x   <  0
По методу рационализации на ОДЗ данное неравенство равносильно
            (     1     (  1)2    )                (     1      ( 1 )2    )
x ⋅ (3 − 1) ⋅ 4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x  − 1   < 0   ⇔    x ⋅  4 ⋅ 3x − 3 ⋅ 3x  −  1  <  0
Найдем нули скобки. Сделаем замену  1
3x = t  , тогда скобка примет вид 4t − 3t2 − 1  . Чтобы найти ее нули, нужно решить уравнение 4t − 3t2 − 1 = 0  . Его корни: t1 = 1  , t2 = 1
     3   . Следовательно, выражение        2
4t − 3t −  1  можно переписать в виде            (    1)
−  3(t − 1) t − 3 . Значит, наше неравенство примет вид
         (  1    )  (  1   1)                (  1     )  (  1      )
x ⋅ (− 3) ⋅ 3 x − 1 ⋅ 3 x − --  < 0   ⇔    x ⋅ 3 x − 30  ⋅ 3 x − 3−1  > 0
                           3
По методу рационализации данное неравенство преобразуется в неравенство
           (       )           (         )
             1-                 1-                     x-(x +-1)
x ⋅ (3 − 1) ⋅ x − 0  ⋅ (3 − 1) ⋅ x − (− 1)  > 0   ⇔       x2    >  0
Решая полученное неравенство методом интервалов, получим ответ
x ∈ (− ∞; − 1) ∪ (0; +∞  )  .
Пересечем данный ответ с ОДЗ и получим итоговый ответ
                (           )
x ∈ (− ∞; − 1) ∪  log 43;+ ∞
                     3
Ответ:

                 (           )
x ∈ (− ∞; − 1) ∪  log43 3; +∞

 

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#2172

Решите неравенство

------------1-------------≤  1
2 − log1−x2 (4x2 − 4x + 1)

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

     (                                         (
     | 1 − x2 >  0                             | − 1 < x < 1
     ||{       2                                 ||{
       1 − x  ⁄=  1                        ⇔      x ⁄= 0                     ⇔
     || 4x2 − 4x +  1 > 0                       || (2x − 1)2 > 0
     |(                2                        |(         2         2 2
       2 − log1−x2 (4x − 4x +  1) ⁄= 0            (2x − 1)  ⁄= (1 − x )
     (                               (
     | − 1 < x <  1                  | − 1 < x < 1
     ||{                               ||{
⇔      x ⁄=  0                   ⇔      x ⁄= 0
     || x ⁄=  0,5                      || x ⁄= 0,5
     |(                   2           |(           √ --
       2x −  1 ⁄= ±(1 − x )             x ⁄= − 1 ±   3;0;2

 

Таким образом, ОДЗ данного неравенства:                             √ --       √ --
x ∈ (− 1; 0) ∪ (0;0,5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ ( 3 − 1;1)  .

 

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену                   2
t = 2 − log1− x2 (4x − 4x + 1)  . Тогда неравенство примет вид:

1-≤  1   ⇔    1-−-t ≤ 0   ⇔    t ∈ (− ∞; 0) ∪ [1;+ ∞ ).
 t              t

Сделаем обратную замену:

                                       ⌊
                                                 4x2 −-4x-+-1-
[               2                      | log1−x2    1 − x2    ≤ 0
  2 − log1− x2 (4x − 4x + 1) ≥ 1   ⇔    ||
  2 − log1− x2 (4x2 − 4x + 1) < 0       |⌈           2
                                         log1−x2 4x-−--4x-+-1-> 0
                                                  (1 − x2)2

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

⌊            (                  )             ⌊
       2       4x2 − 4x +  1                     x3 (5x −  4)
|(1 − x  − 1)  ---------2---−  1  ≤ 0         | --------------≤  0
||                 1 − x                       || (x +  1)(x − 1 )
|            (    2             )        ⇔    |  3         2
⌈(1 − x2 − 1)  4x--−-4x-+--1−  1  > 0         ⌈ x-(x −-2)(x-+--2x −-2)-> 0
                 (1 − x2)2                         (x − 1)2(x + 1)2

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

            √ --           √ --
x ∈ (− ∞; −   3 − 1) ∪ (− 1;  3 − 1) ∪ [0,8; 1) ∪ (2;+ ∞ ).

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

                            √ --
x ∈ (− 1;0) ∪ (0;0, 5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ [0,8;1).
Ответ:

                        √ --
(− 1;0) ∪ (0; 0,5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ [0,8; 1)

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!