Задача №2172: Метод рационализации — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 15. Решение неравенств

15.07 Метод рационализации

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2172

Решите неравенство

------------1-------------≤ 1 2 − log1−x2 (4x2 − 4x + 1)

(Задача от подписчиков)

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( ( | 1 − x2 > 0 | − 1 < x < 1 ||{ 2 ||{ 1 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 0 ⇔ || 4x2 − 4x + 1 > 0 || (2x − 1)2 > 0 |( 2 |( 2 2 2 2 − log1−x2 (4x − 4x + 1) ⁄= 0 (2x − 1) ⁄= (1 − x ) ( ( | − 1 < x < 1 | − 1 < x < 1 ||{ ||{ ⇔ x ⁄= 0 ⇔ x ⁄= 0 || x ⁄= 0,5 || x ⁄= 0,5 |( 2 |( √ -- 2x − 1 ⁄= ±(1 − x ) x ⁄= − 1 ± 3;0;2

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: $√ -- √ -- x ∈ (− 1; 0) ∪ (0;0,5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ ( 3 − 1;1)$ .

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену $2 t = 2 − log1− x2 (4x − 4x + 1)$ . Тогда неравенство примет вид:

1-≤ 1 ⇔ 1-−-t ≤ 0 ⇔ t ∈ (− ∞; 0) ∪ [1;+ ∞ ). t t

Сделаем обратную замену:

⌊ 4x2 −-4x-+-1- [ 2 | log1−x2 1 − x2 ≤ 0 2 − log1− x2 (4x − 4x + 1) ≥ 1 ⇔ || 2 − log1− x2 (4x2 − 4x + 1) < 0 |⌈ 2 log1−x2 4x-−--4x-+-1-> 0 (1 − x2)2

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

⌊ ( ) ⌊ 2 4x2 − 4x + 1 x3 (5x − 4) |(1 − x − 1) ---------2---− 1 ≤ 0 | --------------≤ 0 || 1 − x || (x + 1)(x − 1 ) | ( 2 ) ⇔ | 3 2 ⌈(1 − x2 − 1) 4x--−-4x-+--1− 1 > 0 ⌈ x-(x −-2)(x-+--2x −-2)-> 0 (1 − x2)2 (x − 1)2(x + 1)2

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 3 − 1) ∪ (− 1; 3 − 1) ∪ [0,8; 1) ∪ (2;+ ∞ ).

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

√ -- x ∈ (− 1;0) ∪ (0;0, 5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ [0,8;1).

Ответ:

$√ -- (− 1;0) ∪ (0; 0,5) ∪ (0,5; 3 − 1) ∪ [0,8; 1)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse