Задача №82126: Смешанные неравенства — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 15. Решение неравенств

15.10 Смешанные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#82126

Решите неравенство $( ) log 2 sinx − 3 4 > 0. 2sinx+cosx−1 2$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = sin x,$ $|y|≤ 1.$ Тогда неравенство примет вид

( 3)4 log2y−y2 y − 2 > 0 ( ) log y − 3 2 > 0 2y−y2 2

Применим метод рационализации к данному неравенству:

( ||2y − y2 > 0 ||||| 2 ||{2(y − y )⁄=2 1 | y− 3 > 0 |||| 2 (( )2 ) ||||((2y− y2− 1) y− 3 − 1 > 0 2 (| ||||y(y− 2)< 0 ||{(y− 1)2 ⁄= 0 |y ⁄= 3 ||||| 2 ( ) ( ) |(− (y− 1)2 y− 5 y− 1 > 0 ( 2 2 |||0 < y < 2 ||||{ y ⁄= 13 |||y ⁄= 2 ( )( ) ||||( 2 5 1 (y− 1) y − 2 y− 2 < 0 (1 ) ( 3 ) (3 ) y ∈ 2;1 ∪ 1;2 ∪ 2;2

Так как $y = sinx∈ [− 1;1],$ то после обратной замены получаем

⌊ | π-+ 2πn < x< π+ 2πn 1 <sinx< 1 ⇔ |⌈ 6 2 n ∈ℤ 2 π-+ 2πn < x< 5π-+ 2πn 2 6

Также изобразим промежутки, являющиеся решением неравенства $1 2 < sinx < 1,$ на окружности:

$ππ5π 266+++22ππ2πnnn$

Ответ:

$( ) (π-+2πn; π-+ 2πn)∪ π-+ 2πn; 5π+ 2πn ,n∈ ℤ 6 2 2 6$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse