Смешанные неравенства —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1815

Решите неравенство

ln (− 5ex) ≥ − 1

Показать ответ и решение

Так как $ex > 0$ – при любом $x$ , то $− 5ex < 0$ , следовательно, $ln (− 5ex)$ не определён ни при каких $x ∈ ℝ$ .

Ответ:

$∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#510

Решите неравенство

x 1- ln(7e ) ≥ x

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 7ex > 0 ⇔ x ⁄= 0. x ⁄= 0

На ОДЗ:

x 1- x 1x x 1x ln7 x 1x ln (7e ) ≥ x ⇔ ln(7e ) ≥ lne ⇔ 7e ≥ e ⇔ e e ≥ e ⇔ 1x 2 ⇔ ex ≥ -e-- ⇔ ex ≥ e 1x−ln7 ⇔ x ≥ 1-− ln7 ⇔ x--+-xln-7 −-1 ≥ 0. eln7 x x

По методу интервалов

$PIC$

Таким образом, с учётом ОДЗ

[ ∘ -2------- ) [ ∘ --2------ ) x ∈ −-ln7-−----ln--7 +-4;0 ∪ −-ln7-+---ln--7 +-4;+ ∞ . 2 2

Ответ:

$[ ∘ --2------ ) [ ∘ --2------ ) −-ln-7 −---ln--7-+-4 −-ln-7 +---ln--7-+-4 2 ;0 ∪ 2 ;+ ∞$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#509

Решите неравенство

ln(5ex) ≥ 1

Показать ответ и решение

Так как $ex > 0$ – при любом $x$ , то

ln(5ex) ≥ 1 ⇔ ln (5ex ) ≥ ln e ⇔ 5ex ≥ e ⇔ eln5ex ≥ e ⇔ e ⇔ ex ≥ -ln5 ⇔ ex ≥ e1− ln5 ⇔ x ≥ 1 − ln5. e

Ответ:

$[1 − ln 5;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82126

Решите неравенство $( ) log 2 sinx − 3 4 > 0. 2sinx+cosx−1 2$

Показать ответ и решение

Сделаем замену $y = sin x,$ $|y|≤ 1.$ Тогда неравенство примет вид

( 3)4 log2y−y2 y − 2 > 0 ( ) log y − 3 2 > 0 2y−y2 2

Применим метод рационализации к данному неравенству:

( ||2y − y2 > 0 ||||| 2 ||{2(y − y )⁄=2 1 | y− 3 > 0 |||| 2 (( )2 ) ||||((2y− y2− 1) y− 3 − 1 > 0 2 (| ||||y(y− 2)< 0 ||{(y− 1)2 ⁄= 0 |y ⁄= 3 ||||| 2 ( ) ( ) |(− (y− 1)2 y− 5 y− 1 > 0 ( 2 2 |||0 < y < 2 ||||{ y ⁄= 13 |||y ⁄= 2 ( )( ) ||||( 2 5 1 (y− 1) y − 2 y− 2 < 0 (1 ) ( 3 ) (3 ) y ∈ 2;1 ∪ 1;2 ∪ 2;2

Так как $y = sinx∈ [− 1;1],$ то после обратной замены получаем

⌊ | π-+ 2πn < x< π+ 2πn 1 <sinx< 1 ⇔ |⌈ 6 2 n ∈ℤ 2 π-+ 2πn < x< 5π-+ 2πn 2 6

Также изобразим промежутки, являющиеся решением неравенства $1 2 < sinx < 1,$ на окружности:

$ππ5π 266+++22ππ2πnnn$

Ответ:

$( ) (π-+2πn; π-+ 2πn)∪ π-+ 2πn; 5π+ 2πn ,n∈ ℤ 6 2 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#75433

Решите неравенство

log3√16x−12 4(log4x−8) x > 8 .

Показать ответ и решение

Запишем ограничение, определяющеее ОДЗ: $x >0.$

Сделаем замену $t =log4x.$

В таком случае:

log3√16x = log 2x =1,5log4x = 1,5t 43 x= 4t

Используя свойство степеней $(b)c b⋅c a = a ,$ перепишем неравенство относительно новой переменной $t$ следующим образом:

4t(1,5t−12) > 84(t−8) 2t(1,5t−12) 3⋅4(t−8) 2 > 2

Так как основание показательной функции $2> 1,$ то знак неравенства сохраняется:

2t(1,5t− 12)> 12(t− 8) 3t2− 24t> 12t− 96 2 3t − 36t+ 96> 0 t2− 12t+ 32> 0

По теореме Виета находим нули левой квадратичной функции:

$pict$

Разложим выражение на множители и используем метод интервалов:

(t− 4)(t− 8)> 0

$PIC$

Произведём обратную замену:

$pict$

С учетом ОДЗ получаем:

⌊ 0< x <256 ⌈ x> 65336

Ответ:

$(0;256)∪ (65536;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75180

Снегурочка сумела решить уравнение из номера 13, однако в решении смешанного неравенства ниже у неё возникли трудности с рационализацией

2x⋅log2(x2+ 4)+ log0,5(x2+ 4)2 2x− 2 -------sin(π-+cos(π))------- > √lne-. 2 2

Помогите Снегурочке разобраться в том, как правильно и чётко оформить решение жутко смешанного неравенства.

Показать ответ и решение

Запишем условие, определяющее ОДЗ неравенства: $x2+ 4> 0,$ то есть $x$ — любой.

Поскольку $x2+ 4> 0$ при любом $x$ , вторую степень из аргумента одного из логарифмов можем смело выносить в виде множителя перед логарифмом — ОДЗ таким действием мы не меняем:

2x⋅log2(x2+-4)+-2log0,5(x2+-4)- 2√x−-2 sin(π2 +cos(π2)) > ln e .

Представим $0,5$ в виде степени: $−1 0,5 = 2$ . Далее воспользуемся свойством $1 logacb= c logab$ и получим:

x 2 2 x 2-⋅log2(x--+π4)−-2loπg2(x-+-4)> 2√-− 2, sin(2 +cos(2)) lne

x 2 2 x 2-⋅log2(x--+4)π−-2log2(x-+-4)> 2-√− 2, sin(2 +0) 1

2x⋅log2(x2+ 4)− 2 log2(x2+ 4)> 2x− 2,

(2x − 2)⋅log2(x2+ 4)− (2x − 2)> 0,

(2x− 2)(log(x2+ 4)− 1)> 0, 2

(2x− 21)(log (x2+ 4)− log 2)> 0. 2 2

По методу рационализации для показательной и логарифмической функций:

(2 − 1)(x− 1)(2− 1)(x2 +4 − 2)> 0,

(x − 1)(x2+ 2) >0.

$x2+ 2$ всегда больше 0, поэтому единственным нулём левой части неравенства является $x= 1.$ Реализуем метод интервалов:

$PIC$

Ответ:

$x ∈(1;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#73291

Решите неравенство

x2−x−6 x2+2x+2 (4 − 1)⋅log0,25(4 − 3)≤ 0.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x2+2x+2 4 − 3 > 0.

Оценим показатель степени. Вычислим его дискриминант:

D = 4− 8= − 4< 0.

Дискриминант отрицательный, значит, выражение $x2+ 2x+ 2$ всегда принимает положительные значения. Функция квадратичная, ее график — парабола. Минимум функции находится в вершине параболы.
$−2 xв = 2-= −1$ , $yв = y(−1) =1 − 2 +2 = 1,$
отсюда $41 = 4$ — наименьшее значение.
Тогда $4x2+2x+2− 3≥ 4− 3= 1> 0,$ следовательно, областью допустимых значений является вся числовая прямая.

Переходим к решению неравенства. Для применения метода рационализации необходимо получить разность одноименных функций.

(4x2−x−6− 1)⋅log (4x2+2x+2− 3)≤ 0, 0,25

(4x2−x−6− 40)⋅(log0,25(4x2+2x+2− 3)− 0) ≤0,

(4x2−x−6− 40)⋅(log (4x2+2x+2− 3)− log 1)≤ 0. 0,25 0,25

Воспользуемся методом рационализации для показательной и логарифмической функций:

(4− 1)(x2− x − 6 − 0)⋅(0,25− 1)⋅(4x2+2x+2− 3− 1)≤ 0,

3⋅(x2− x− 6)⋅(− 0,75)⋅(4x2+2x+2 − 4)≤ 0,

3 ⋅(x2− x − 6)⋅(−0,75)⋅(4x2+2x+2− 41)≤ 0.

Еще раз воспользуемся методом рационализации для показательной фукнции:

−2,25 ⋅(x2− x − 6)⋅(4− 1)(x2+ 2x+ 2− 1)≤ 0,

−6,75 ⋅(x2− x− 6)(x2 +2x +1)≤ 0,

(x− 3)(x+ 2)(x +1)2 ≥ 0.

$PIC$

x∈ (−∞;− 2]∪{−1} ∪[3;+ ∞).

Ответ:

$x ∈(−∞; −2]∪ {−1}∪ [3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#72211

Решите неравенство

2x−1 x−1 log3(2 − 3⋅2 + 1)< 1.

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ неравенства:

2x−1 x−1 2 − 3⋅2 + 1> 0,

2x x 0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 + 1> 0,

2x x 2 − 3⋅2 + 2 >0.

Сделаем замену $2x = t:$

t2− 3t+2 > 0,

2 t − t− 2t+ 2> 0,

t(t− 1) − 2(t− 1) > 0,

(t− 2)(t− 1)> 0.

По методу интервалов получаем:

$[t< 1, t> 2.$

Обратная замена:

$[ 2x < 1, 2x > 2.$

$[ x< 0, x> 1.$

Таким образом, область допустимых значений состоит из двух интервалов: $x ∈(−∞; 0)∪ (1;+∞ ).$

Переходим к решению неравенства. Представим единичку как $log 3: 3$

2x−1 x−1 log3(2 − 3⋅2 + 1)< log33.

Потенцируем обе части неравенства, сохраняя знак неравенства, так как основание $3> 1:$

2x−1 x−1 2 − 3⋅2 + 1< 3,

2x x 0,5 ⋅2 − 0,5⋅3⋅2 − 2< 0,

22x− 3⋅2x− 4 <0.

Сделаем замену $x 2 = t:$

t2− 3t− 4 < 0,

t2 +t− 4t− 4< 0,

t(t+ 1) − 4(t+ 1) < 0,

(t− 4)(t+ 1)< 0.

По методу интервалов получаем:

{ t> −1, t< 4.

Обратная замена:

{ 2x > −1, 2x < 4.

x< 2.

Найдём пересечение между ОДЗ и полученными решениями рационального неравенства:

$PIC$

Ответ:

$(−∞; 0)∪(1;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#23600

Решите неравенство:

1 9log (7− x) log2(x−7)2 32 ⋅2 16 ≥ 2 16 .

Показать ответ и решение

1 9log (7−x) log2 (x−7)2 32 ⋅2 16 ≥ 2 16

Найдем ОДЗ данного неравенства:

( { 7− x> 0 ( (x − 7)2 > 0 ⇔ 7 − x > 0 ⇔ x< 7

Преобразуем левую часть неравенства:

1- 9log16(7−x) −5 9log24(7− x) 94 log2(7−x)−5 32 ⋅2 = 2 ⋅2 = 2

Преобразуем показатель степени в правой части неравенства:

2 1 log216(x − 7)2 = (2log24|x − 7|)2 = (4 log2|7− x|)2 = 4 log22|x− 7|

На ОДЗ $|x− 7|= 7− x$ и исходное неравенство примет вид:

94log2(7−x)− 5 14log22(7−x) 9 1 2 2 ≥ 2 ⇔ 4 log2(7− x)− 5≥ 4 log2(7 − x)

Обозначим $t =log2(7− x)$ , тогда $2 2 log2(7− x)= t$

Перепишем неравенство в виде

$pict$

Решим неравенство методом интервалов:

$PIC$

t∈ [4;5] ⇔ 4 ≤t ≤5

Произведем обратную замену:

4 ≤log2(7− x)≤ 5 ⇔ 24 ≤ 7 − x ≤ 25 ⇔ 16 ≤ 7− x≤ 32 ⇔ 9≤ − x≤ 25 ⇔ −25 ≤x ≤ −9

Учтем ОДЗ:

( { x< 7 ( −25 ≤x ≤ −9 ⇔ − 25 ≤ x≤ −9 ⇔ x ∈ [−25;−9]

Ответ: $[− 25;− 9]$

Ответ:

$[−25;−9]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#17246

Решите неравенство

( 35 x−1 x− 1) 2x≥ log2 3-⋅6 − 2⋅9 2

Показать ответ и решение

Преобразуем неравенство:

$pict$

Из второго неравенства получаем

35 ⋅2x− 2⋅3x > 0 6 (2)x 12 3 > 35 x< log212 335

Из первого неравенства имеем:

( ) ( ) 2 2x 2 x 18⋅ 3 − 35 ⋅ 3 +12 ≥0

Сделаем замену $( 2)x t = 3 :$

2 18 ⋅t − 35t+ 12≥ 0 ( ] [ ) t∈ −∞; 4 ∪ 3;+∞ 9 2

Сделаем обратную замену:

( ) ⌊ 2 x 4 ||(3 ) ≤ 9 ⌈ 2 x 3 3 ≥ 2

Отсюда получаем

x ∈(− ∞;−1]∪ [2;+∞ )

Далее имеем:

( )2 2 = 4 = 4⋅35= 140-> 108= 9-⋅12 = 12 3 9 9⋅35 315 315 9 ⋅35 35

Тогда так как основание логарифма меньше 1, то получаем

12 4 log2335 > log23 9 = 2

Поскольку $x < log2 12-, 3 35$ то окончательно имеем:

[ ) x ∈ (− ∞;−1]∪ 2;log212 335

Ответ:

$[ 12) (−∞; −1]∪ 2;log2335$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#17142

Решите неравенство

log1log3(−2x) log1log5(−2x) 5 5 < 3 3

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма исходное неравенство равносильно:

$pict$

Последний переход корректен, так как первое неравенство системы выполняется при всех $x$ из ОДЗ: $− 2x> 1,$ ведь основание логарифма левой части больше основания логарифма правой части, а аргументы равны.

Ответ:

$(−∞; −0,5)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#15913

Решите неравенство

xlog2x + 16x− log2x < 17

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0.$

Решим неравенство на ОДЗ.

Сделаем замену $t = xlog2x = elnx⋅log2x > 0$ .

Тогда

16 t2-−-17t+-16 t+ t < 17 ⇔ t < 0

Решая неравенство методом интервалов, получим:

[ t < 0 1 < t < 16

Так как из-за замены $t > 0$ , то неравенство $t < 0$ не имеет решений.

Делаем обратную замену:

lnx⋅logx 0 lnx⋅log x ln 16 1 < e 2 < 16 ⇔ e < e 2 < e ⇔ 0 < lnx ⋅log2x < ln16

Решим данное двойное неравенство как два неравенства по отдельности и затем пересечем решения.

1) $ln x⋅log2x > 0.$ Решим с помощью метода рационализации:

2 (e− 1)(x − 1)(2 − 1)(x− 1) > 0 ⇔ (x − 1) > 0 ⇔ x ⁄= 1

2) $ln x⋅log2x < ln16$ . Разделим обе части неравенства на положительное число $ln16$ :

lnx-⋅log x < 1 ⇒ log x⋅log x < 1 ⇒ ln 16 2 16 2 1(log x )2 < 1 ⇒ (log x)2 < 4 ⇒ 4 2 2 − 2 < log x < 2 ⇒ 1< x < 4 2 4

Пересекая решения этих двух неравенств между собой и с ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ:

$(0,25;1) ∪(1;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#15708

Решите неравенство

∘ ----- x+ 1⋅log0,5(log2|1− x|)≥ 0 2

Показать ответ и решение

При $x = −0,5$ левая часть неравенства имеет смысл и равна нулю. Тогда $x = −0,5$ пойдет в ответ.

При условии $x> − 0,5$ получаем неравенство

log (log |1 − x|)≥ 0 0,5 2

Отсюда имеем:

0< log2 |1− x|≤ 1 ⇒ 1< |1− x|≤ 2

Следовательно, $− 1 ≤x < 0$ или $2< x ≤3.$

Учитывая условие $x > −0,5,$ находим:

1 − 2< x< 0 или 2< x ≤3

Объединяя полученные множества c $x = −0,5,$ получаем

[ ) x ∈ − 1;0 ∪(2;3] 2

Ответ:

$[ ) − 1;0 ∪(2;3] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2722

Найдите все такие $x ∈ ℝ$ , которые являются решениями неравенства

N ⋅ log 3 ⋅ log (1 + x) ≥ 1 (1+Nx) 3

при любых $N ∈ ℕ.$

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( |{ 1 + N x > 0 |( 1 + N x ⁄= 1 — при лю бы х N ∈ ℕ 1 + x > 0

Покажем, что $x < 0$ не подходят по ОДЗ:
зафиксируем произвольное $x < 0$ , тогда $− x > 0$ . Существует $n ∈ ℕ$ , такое что

1 n > ----. − x

Положим $N = n$ , тогда

N > -1-- ⇒ − xN > 1 ⇒ 1 + N x < 0, − x

что не подходит по ОДЗ. Таким образом, $x ≥ 0$ .

Также по ОДЗ не подходит $x = 0$ , а $x > 0$ подходят по ОДЗ, следовательно,
ОДЗ:

x > 0.

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

-----1-------⋅ log (1 + x)N ≥ 1 log3(1 + N x ) 3

Так как на ОДЗ

1 + N x > 1,

то $log3(1 + N x) > 0$ , следовательно,

------1------ N N log (1 + N x) ⋅ log3(1 + x) ≥ 1 ⇔ log3(1 + x) ≥ log3(1 + N x) ⇔ 3 N ⇔ (1 + x ) ≥ (1 + N x).

Зафиксируем произвольный $x > 0$ .
Докажем по индукции, что данное неравенство выполнено для всех $N ∈ ℕ$ :

1) $N = 1$ :

1 + x ≥ 1 + x

– верно.

2) Рассмотрим произвольное $m ∈ ℕ$ , такое что $(1 + x)m ≥ 1 + mx$ , тогда

m+1 m 2 (1 + x) = (1 + x) ⋅ (1 + x) ≥ (1 + x) ⋅ (1 + mx ) = 1 + mx + x + mx ≥ 1 + x(m + 1),

таким образом, мы доказали, что рассматриваемый $x$ подходит. Так как мы фиксировали произвольный $x > 0$ , то все $x > 0$ являются решениями исходной задачи.

Ответ:

$(0;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2422

Решите неравенство

( )log (2x+3) 3log2(x2)+ 2⋅|x|log29 ≤ 3⋅ 1 0,5 3

Показать ответ и решение

Запишем ОДЗ:

{ x2 >0 ⇒ x∈ (−1,5;0)∪ (0;+∞ ) 2x +3 > 0

Тогда на ОДЗ второе слагаемое левой части можно преобразовать так:

( ) ( ) 2⋅|x|log29 = 2 ⋅|x|log23 2 = 2 ⋅3log2|x| 2 = 2⋅3log2x2

Правую часть можно преобразовать так:

( −1)log0,5(2x+3) − log0,5(2x+3) log2(2x+3) 3⋅ 3 = 3⋅3 = 3⋅3

Тогда все неравенство перепишется в виде

log x2 logx2 log(2x+3) log x2 log(2x+3) 3 2 + 2⋅3 2 ≤3 ⋅3 2 ⇒ 3 2 ≤ 3 2 ⇒

⇒ log2x2 ≤ log2(2x+ 3) ⇒ x2 ≤ 2x+ 3

Получили квадратичное неравенство

x2− 2x− 3≤ 0 ⇒ x∈ [−1;3]

Пересекая полученное множество с ОДЗ, получим

x∈ [−1;0) ∪(0;3]

Ответ:

$[−1;0)∪(0;3]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1820

Решите неравенство

2x+log2(1+x1ln2) ≥ 1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

----1---- > 0 ⇔ 1 + x ln 2 > 0 ⇔ x > − -1-. 1 + x ln 2 ln 2

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

x log (--1- ) x 1 x 2 ⋅ 2 21+xln2 ≥ 1 ⇔ 2 ⋅--------- ≥ 1 ⇔ 2 ≥ 1 + xln 2 ⇔ x 1 + x ln 2 ⇔ 2 − 1 − xln 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию

f(x ) = 2x − 1 − x ln2.

Найдём её промежутки возрастания/убывания:

f′(x) = 2x ln 2 − ln 2 = ln2 ⋅ (2x − 1)

Легко проверить, что $x = 0$ – единственная точка локального минимума функции $f$ , тогда она является точкой минимума $f$ и наименьшее значение $f$ равно

0 f(0) = 2 − 1 − 0 ⋅ ln 2 = 0.

Таким образом, $x 2 − 1 − xln2 ≥ 0$ – верно при всех $x ∈ ℝ$ , тогда ответ совпадает с ОДЗ:

x > − -1--. ln2

Ответ:

$( ) − -1--;+ ∞ ln 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1819

Решите неравенство

x+1 x log5x25 + log25x+1 5 − 2 > 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( x |||{ 5x> 0 5 ⁄= 1 ⇔ x ∈(− ∞;−1)∪ (−1;0)∪(0;+∞ ) |||( 25x+1 > 0 25x+1 ⁄= 1

Сделаем замену $x+1 log5x25 = y$ :

{ 1 y2−-2y+-1 (y−-1)2- y >0 y+ y − 2> 0 ⇔ y >0 ⇔ y > 0 ⇔ y ⁄=1,

откуда

{ x+1 ({ 2x+-2 > 0 log5x25x+1 > 0 ⇔ 2xx+ 2 log5x25 ⁄= 1 ( --x-- ⁄= 1

Решая первое неравенство последней системы, получаем

x ∈ (− ∞;− 1) ∪(0;+ ∞ )

Решая второе неравенство последней системы, получаем

x∈ (−∞; −2)∪(− 2;0)∪ (0;+∞ )

В итоге

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;−1)∪(0;+∞ )

– входит в ОДЗ

Ответ:

$(−∞; −2)∪ (− 2;− 1)∪(0;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1818

Решите неравенство

x log π (x + 3 ) ≤ 0 x+2

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | x + π-> 0 ( π |{ 2π { x > − -- x + --⁄= 1 ⇔ 2π ||( 2 ( x ⁄= − --+ 1 x + 3 > 0 2

Заметим, что

x + 3 > x + π- + 1 2

Рассмотрим два случая:
1) $x > − π-+ 1 2$ , тогда

π logx+ 2(x + 3) > 0

и исходное неравенство равносильно

x ≤ 0,

то есть в этом случае подходят

( ] x ∈ − π-+ 1;0 2

2) $π π − --< x < − --+ 1 2 2$ , тогда

logx+ π2(x + 3) < 0

и исходное неравенство равносильно

x ≥ 0,

то есть в этом случае подходящих $x$ нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ:

( π ] x ∈ − --+ 1;0 . 2

Ответ:

$( π ] − --+ 1;0 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1816

Решите неравенство

(2x + 15)log (x2 + 7x) ≤ 0 x+2

Показать ответ и решение

ОДЗ:

( | x + 2 > 0 { | x + 2 ⁄= 1 ⇔ x > 0 ( x2 + 7x > 0

На ОДЗ $2x + 15 > 0$ , $x + 2 > 1$ , следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно

2 2 logx+2(x + 7x) ≤ logx+2 1 ⇔ x + 7x − 1 ≤ 0

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $[ √ --- √---] − 7-−--53- −-7 +--53- x ∈ 2 ; 2$ .
Пересечём ответ с ОДЗ:

( √ --] x ∈ 0; −-7-+--53 2

Ответ:

$√ --- (0;− 3,5 + 0,5 53]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1233

Решите неравенство

9x2−4 9x2- ( (3 )log32x+12) -4-- 44 − 2x + 1 ≤ 3

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( |{3x + 1> 0 ( 2 ) |23 ⇔ x∈ − 3;0 ∪ (0;+ ∞ ) (2x + 1⁄= 1

Решим неравенство на ОДЗ. Так как по основному логарифмическому свойству $alogab = b$ , то

49x24-− 2 9x42−1 ≤ 3

Сделаем замену $2 t =2 9x4--$ , $t> 0$ , тогда

( 3) [ 3 ] t2− 0,5t− 3≤ 0 ⇔ t+ 2 (t− 2)≤ 0 ⇔ t∈ − 2;2

Так как согласно замене $t> 0$ , то получаем $0 <t ≤2$ . Сделаем обратную замену:

9x2- 9x2 ( 2) ( 2) 0< 2 4 ≤ 2 ⇔ -4-≤ 1 ⇔ x− 3 x + 3 ≤ 0 ⇔ [ ] 2 2 x∈ −3;3

Пересечем ответ с ОДЗ и получим

( 2 ) ( 2 ] x ∈ −3;0 ∪ 0;3

Ответ:

$( 2 ) ( 2] −3 ;0 ∪ 0;3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».