Задача №1820: Смешанные неравенства — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 15. Решение неравенств

15.10 Смешанные неравенства

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1820

Решите неравенство

2x+log2(1+x1ln2) ≥ 1

Показать ответ и решение

ОДЗ:

----1---- > 0 ⇔ 1 + x ln 2 > 0 ⇔ x > − -1-. 1 + x ln 2 ln 2

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

x log (--1- ) x 1 x 2 ⋅ 2 21+xln2 ≥ 1 ⇔ 2 ⋅--------- ≥ 1 ⇔ 2 ≥ 1 + xln 2 ⇔ x 1 + x ln 2 ⇔ 2 − 1 − xln 2 ≥ 0.

Рассмотрим функцию

f(x ) = 2x − 1 − x ln2.

Найдём её промежутки возрастания/убывания:

f′(x) = 2x ln 2 − ln 2 = ln2 ⋅ (2x − 1)

Легко проверить, что $x = 0$ – единственная точка локального минимума функции $f$ , тогда она является точкой минимума $f$ и наименьшее значение $f$ равно

0 f(0) = 2 − 1 − 0 ⋅ ln 2 = 0.

Таким образом, $x 2 − 1 − xln2 ≥ 0$ – верно при всех $x ∈ ℝ$ , тогда ответ совпадает с ОДЗ:

x > − -1--. ln2

Ответ:

$( ) − -1--;+ ∞ ln 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse