Тема 15. Решение неравенств
15.10 Смешанные неравенства
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение неравенств
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#15913

Решите неравенство

xlog2x + 16x− log2x < 17
Показать ответ и решение

ОДЗ: x > 0.

Решим неравенство на ОДЗ.

Сделаем замену t = xlog2x = elnx⋅log2x > 0  .

Тогда

   16            t2-−-17t+-16
t+  t < 17  ⇔         t     < 0

Решая неравенство методом интервалов, получим:

[
  t < 0
  1 < t < 16

Так как из-за замены t > 0  , то неравенство t < 0  не имеет решений.

Делаем обратную замену:

     lnx⋅logx             0   lnx⋅log x   ln 16
1 < e    2  < 16  ⇔    e < e     2 < e      ⇔   0 < lnx ⋅log2x < ln16

Решим данное двойное неравенство как два неравенства по отдельности и затем пересечем решения.

1) ln x⋅log2x > 0.  Решим с помощью метода рационализации:

                                   2
(e− 1)(x − 1)(2 − 1)(x− 1) > 0 ⇔ (x − 1) > 0 ⇔ x ⁄= 1

2) ln x⋅log2x < ln16  . Разделим обе части неравенства на положительное число ln16  :

lnx-⋅log x < 1 ⇒ log x⋅log x < 1 ⇒
ln 16    2           16      2
1(log x )2 < 1 ⇒ (log x)2 < 4 ⇒
4   2             2
− 2 < log x < 2 ⇒ 1< x < 4
        2        4

Пересекая решения этих двух неравенств между собой и с ОДЗ, получаем окончательный ответ.

Ответ:

(0,25;1) ∪(1;4)

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!