Тема 13. Решение уравнений
13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#987

а) Решите уравнение cosx− sinx + 1+ 2sinxcosx =0.

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку (−7π;−3π).

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение к виду

cosx − sinx− (1− 2sinx cosx)+ 2= 0

Тогда по формуле сокращенного умножения (sinx− cosx)2 = 1− 2sinx cosx  можно записать:

−(sinx − cosx)− (sinx − cosx)2+ 2= 0

Сделаем замену переменной t= sinx− cosx.  Тогда уравнение примет вид

− t− t2+ 2 =0   ⇒   t2+ t− 2= 0  ⇒   t1 = −2, t2 =1

Сделаем обратную замену переменной.

1)

                         √-       √-
sinx− cosx= − 2 |:√2  ⇒   -2-sinx − -2cosx =− √2  ⇒
                          2       2

                                     (     )
⇒   sin xcos π− cosxsin π-=− √2  ⇒   sin x− π- = −√2
           4         4                   4

Так как область значений синуса — это отрезок [−1;1],  то данное уравнение не имеет решений, так как    -
− √ 2< −1.

2)

               √ -      √2-      √2       √2         (    π)   √2
sinx− cosx= 1 |: 2  ⇒   -2-sin x− -2-cosx= -2-  ⇒   sin x − 4- = 2--  ⇒

    ⌊x− π-= π-+2πn, n∈ ℤ         ⌊   π-
⇒   |⌈   4   4                ⇒   ⌈x= 2 + 2πn, n ∈ℤ
     x− π-= 3π +2πm, m ∈ ℤ        x= π +2πm, m ∈ ℤ
        4    4

б) Отберем корни с помощью неравенств.

      π                   15        7
−7π < 2 + 2πn <− 3π ⇒   − 4-< n< − 4

Таким образом, среди целых чисел подходят только n = −3;−2,  при которых получаются корни     11π   7π
x= −-2- ;− 2-.

− 7π < π+ 2πm < −3π  ⇒   −4< m < − 2

Таким образом, среди целых чисел подходит только m = −3,  при котором получается корень x =− 5π.

Ответ:

а) π+ 2πn;π+ 2πm;n,m ∈ ℤ
2

 

б) − 11π ; −5π; − 7π
   2          2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!