Тема 13. Решение уравнений
13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#773

а) Решите уравнение

                                   (         )
                               √-    √--1---
(sin x + cosx) (1 + sin 2x) = log 2+1    2 − 1

б) Укажите все его корни, принадлежащие промежутку (12;14 )  .

Показать ответ и решение

а) Сделаем преобразования с правой частью:

                            (         --        )           (   --    )
       (    1   )                   √ 2 + 1                    √2 + 1              √--
log√2+1   √------   = log√2+1   √--------√--------  = log√2+1   -------  = log√2+1 ( 2 + 1) = 1
           2 − 1               ( 2 − 1)(  2 + 1)               2 − 1

Значит, уравнение перепишется в виде:

 

(sin x + cosx)(1 + sin 2x) = 1   ⇒    (sinx + cos x)(1 + 2sinx cosx ) = 1   ⇒

 

⇒    (sinx + cos x)(sin2 x + 2sin xcos x + cos2x) = 1   ⇒    (sinx + cos x)3 = 1   ⇒

 

(последнее преобразование сделано по формуле сокращенного умножения)

 

                                    √ --       √ --       √ --                        √ --
                         √ --       --2-       --2-       --2-            (     π-)   --2-
⇒    sin x + cosx = 1 | :  2   ⇒     2  sin x +  2  cosx =  2     ⇒    sin x  x + 4   =  2

 

⌊     π    π                        ⌊
  x + --=  --+ 2πn, n ∈ ℤ             x = 2πn, n ∈ ℤ
|     4    4                        ⌈
⌈     π    3π                  ⇒      x = π-+ 2 πm, m ∈  ℤ
  x + --=  ---+ 2πm, m  ∈ ℤ               2
      4    4

 

б) Отберем корни.

1)

                       6        7
12 <  2πn < 14    ⇒    --<  n < --
                       π        π

Т.к. 3 < π <  3,5  , то 12 < 6 < 2
7    π  и 2 < 7 <  7
    π    3   , то есть, условно говоря,

 

6
π = 1,...

 

7 = 2,...
π

 

Таким образом, среди целых чисел подходит только n = 2  , который дает корень x =  4π  .

 

2)

      π                     6   1         7    1
12 <  2-+ 2πm  < 14   ⇒     π-− 4-<  m <  π-−  4-

Из выведенных данных предыдущего пункта можно также условно сказать, что

 

6   1
--− --=  1,...
π   4

 

По поводу 7 −  1
π    4   точного значения не получается (с той оценкой, которую мы сделали, получается, что это число из промежутка (1,...;2,...)  ), поэтому необходимо точнее оценить π  :

 

314-< π <  315-  ⇒     700-<  7-<  700-  ⇒
100        100         315    π    314

 

      71   7    1    1243               7   1
⇒     ---< --−  --<  -----  ⇒    1 3536-<  --− --<  1661258
      36   π    4    628                π   4

 

Таким образом, условно можно сказать, что 7-  1-
π − 4 = 1, ...

 

Значит, можно сказать, что 1,... < m  < 1,...  , то есть это неравенство не имеет решений в целых числах.

Ответ:

а)      π
2πn; --+ 2πm;  n,m  ∈ ℤ
     2

 

б) 4π

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!