Тема 13. Решение уравнений
13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#414

а) Решите уравнение cos4 x− sin4x= cosx.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [0;2].

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов имеем:

  4      4      2      2    2      2      2      2       2
cosx − sin x= (cosx +sin x)(cos x− sin x)= cosx − sin x= 2cos x− 1

Тогда исходное уравнение примет вид

2cos2x− cosx − 1= 0

Сделав замену t =cosx,  получим:

2t2− t− 1= 0  ⇒   t1 = 1; t2 = − 1
                             2

Сделав обратную замену, получим:

⌊ cosx = 1    ⌊x = 2πn, n ∈ℤ
⌈        1 ⇒ ⌈     2π
  cosx = −2    x = ±-3 + 2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

1)

0 ≤ 2πn≤ 2  ⇒   0 ≤n ≤ 1- ⇒   n = 0  ⇒   x =0
                       π

2)

   2π                  1       1   1
0≤ -3 + 2πm1 ≤ 2  ⇒   − 3 ≤ m1 ≤ π-− 3

Отсюда с учетом π > 3  имеем:

1-< 1  ⇒    1− 1 < 0  ⇒   m  ∈∅
π   3       π  3            1

3)

     2π                 1       1   1
0≤ − 3-+ 2πm2 ≤ 2  ⇒   3 ≤ m2 ≤ π-+ 3

Отсюда с учетом π > 3  имеем:

1+ 1 < 2  ⇒   m  ∈ ∅
π  3   3        2
Ответ:

а)   2π
± 3 + 2πm, 2πn, n,m ∈ ℤ

б) 0

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!