Тема 13. Решение уравнений
13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#412

а) Решите уравнение

sin4 x − cos4x + cos2x =  sin x + cosx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (        )
  − 5π;0
    2 .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

Т.к. по формуле сокращенного умножения a2 − b2 = (a − b)(a + b)  выражение sin4 x − cos4x = (sin2x − cos2 x)(sin2 x + cos2x) = (sin2 x − cos2x ) ⋅ 1  , а по формуле косинуса двойного угла             2       2
cos2x =  cos x − sin x  , то уравнение примет вид:

sin2 x − cos2x + cos2 x − sin2 x = sin x + cosx ⇒  0 = sin x + cosx

Полученное уравнение является однородным первой степени и решается делением обеих частей равенства на cosx  :

                   π-
tgx = − 1 ⇒ x =  − 4 + πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни:

  5π-     π-               9-       1-
−  2  < − 4 + πn  < 0 ⇒  − 4 < n <  4 ⇒  n = − 2;− 1;0

Значит, корни, принадлежащие данному промежутку — это − 9π-;− 5π-;− π-
   4     4    4  .

Ответ:

а)    π
−  --+ πn, n ∈ ℤ
   4

 

б)   9π-   5π-   π-
−  4 ;−  4 ;− 4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!