Тема 13. Решение уравнений
13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#411

а) Решите уравнение

cos2x + cos x + sin x = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу (0; π)  .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу косинуса двойного угла: cos2x =  cos2x − sin2x = (cos x − sin x)(cosx + sinx )  :

(cos x − sin x)(cosx + sinx ) + (cos x + sin x) = 0 ⇒ (cos x + sin x)(cosx − sin x + 1) = 0 ⇒
[
  cosx + sinx =  0
  cosx − sinx =  − 1

Первое уравнение является однородным первом степени, поэтому путем деления правой и левой частей равенства на cosx  сводится к                     π
tgx = − 1 ⇒ x0 =  − --+ πn, n ∈ ℤ
                    4

 

Второе уравнение является неоднородным первой степени. Разделим обе части равенства на ∘  -2-------2-  √ --
   1 + (− 1) =    2  :

√ --       √ --          √--                               √ --      (      )      √ --
--2-       --2-          -2--      π-           π-         --2-            π-      --2-
 2  cosx −  2  sinx =  − 2  ⇒  cos 4 cosx − sin 4 sin x = −  2  ⇒  cos  x + 4  =  −  2

Решением данного уравнения являются x1 =  − π + 2 πk,k ∈ ℤ  и      π-
x2 = 2 +  2πm, m  ∈ ℤ

 

б) Отберем корни:

 

1)       π               1        5                 3π
0 < − -- + πn <  π ⇒  --< n <  --⇒ n =  1 ⇒  x = ---
       4              4        4                  4   

2) 0 < − π + 2πk  < π ⇒  1-<  k < 1 ⇒ k ∈  ∅
                      2   

3) 0 <  π-+ 2πm  < π ⇒  − 1-<  m <  1-⇒  m =  0 ⇒ x =  π-
     2                 4         4                  2   

Ответ:

а)    π                  π
−  --+ πn, − π + 2πk, --+ 2πm,  n, k,m  ∈ ℤ
   4                  2

 

б) π-3-π
2; 4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!