Тема 13. Решение уравнений
13.07 Тригонометрические: на формулы сокращенного умножения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1306

а) Решите уравнение

sin6 x + cos6x = 0,25

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (0;1)  .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

По формуле сокращенного умножения a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)  имеем: sin6 x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = (sin2x + cos2x )(sin4x −  sin2 xcos2x + cos4 x) =
         4       2     2       4
= 1 ⋅ (sin x − sin x cos x + cos x )  .

 

Добавим и вычтем в скобках 2 sin2 xcos2 x  и получим:
sin4 x + 2sin2x cos2x + cos4x −  3sin2x cos2x = (sin2x + cos2 x)2 − 3 sin2 x cos2x =
= 1 − 3 sin2 xcos2 x  .

 

Таким образом, уравнение преобразуется к виду:

1 − 3sin2x cos2x = 0,25 = ⇒  sin2 xcos2 x = 1-
                                           4

По формуле двойного угла для синуса              1                           1
sinα cos α = --sin2α = ⇒  (sin αcos α)2 = --sin22α ⇒
             2                           4 уравнение равносильно:

1          1                                           π                      π    π
--sin2 2x = --= ⇒  sin2 2x = 1 =⇒  sin2x =  ±1 =⇒  2x =  --+ πn, n ∈ ℤ = ⇒  x = --+  -n, n ∈ ℤ
4          4                                           2                      4    2

б) Отберем корни:

    π-  π-                1-      -2   1-
0 < 4 +  2n < 1   ⇒     − 2 < n < π  − 2

Т.к. 3 < π <  4   ⇒    1-<  2-<  2-  ⇒    0 < 2-−  1-< 1-
                  2    π    3            π    2   6  , следовательно, целые n  , удовлетворяющие неравенству, это n = 0  . Тогда     π
x = --
     4  .

Ответ:

а) π    π
--+  -n, n ∈ ℤ
4    2

 

б) π-
4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!