Тема 13. Решение уравнений
13.01 Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#63271

а) Решите уравнение  2cos3x = √3sin2 x+ 2cosx.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [     5π]
 −3π;−-2  .

Показать ответ и решение

а) По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2cos3x = √3(1 − cos2x)+ 2cosx

Раскроем скобки, перенесём слагаемое с минусом в левую часть, разложим на множители:

 2cos3 x= √3 − √3-cos2x + 2cosx
         √-       √ -
 2cos3 x+  3cos2x=   3+ 2cosx
cos2x(2cosx+ √3) = √3 +2cosx
  (       √ -)
   2cosx+   3 (cos2x − 1)= 0

Отсюда получаем

⌊        √-       ⌊
 cosx= − -3-       x = ±5π + 2πk
|⌈         2   ⇔   |⌈      6
 cosx= ±1          x = πk, k ∈ ℤ

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств:

1) − 3π ≤ πk ≤ − 5π ⇒  −3 ≤ k ≤ −2,5
               2
  k = −3  ⇒   x =− 3π

2) − 3π ≤ 5π +2πk ≤− 5π  ⇒   −3≤ 5 + 2k ≤ − 5
         6           2           6        2
      5         1
   − 3 6 ≤ 2k ≤ − 33 ⇒ k ∈ ∅

3) − 3π ≤ − 5π6 + 2πk ≤ − 5π2 ⇒ −3 ≤− 56 +2k ≤− 52

   − 2 1≤ 2k ≤ − 12 ⇒  k = − 1, x =− 5 − 2π
      6         3                   6

Таким образом, на отрезке [        ]
 −3π;− 5π
       2 лежат корни − 3π  и − 17π.
   6

Ответ:

а) πk;  − 5π +2πk;
   6  5π+ 2πk,
6  k ∈ℤ

 

б) − 3π;    17π
− -6-

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!