Поиск точек экстремума у смешанных функций —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32452

Найдите точку максимума функции $y =ln(x+ 5)− 2x + 9.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 5.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 y′ = x+-5-− 2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 5 =0,5 ⇔ x= − 4,5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−5;−4,5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (−4,5;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= − 4,5$ является точкой максимума.

Ответ: -4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32451

Найдите точку максимума функции

2 y =2x − 5x+lnx− 3

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 4x2 − 5x+ 1 y = 4x − 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ 4x2− 5x+ 1= 0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;0,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈(0,25;1)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈ (1;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =0,25$ является точкой максимума.

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32450

Найдите точку минимума функции $2 y = 2x − 5x + lnx − 3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 4x2− 5x+ 1 y′ = 4x− 5+ x =----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 5x+ 1 =0 ⇔ x= 0,25;1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;0,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x ∈(0,25;1)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $x∈ (1;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 1$ является точкой минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32449

Найдите точку минимума функции $y = 4x− 4ln(x +7).$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

4 y′ = 4− x+-7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x + 7= 1 ⇔ x= − 6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−7;−6)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает. При $x∈ (−6;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −6$ является точкой минимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32447

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x+ 3)+ 7.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >− 3.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

1 y′ = 2− x+-3

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ x+ 3= 1 ⇔ x = −2,5 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;−2,5)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (−2,5;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= −2,5$ является точкой минимума.

Ответ: -2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#16753

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x− 3)+ 5.$

Показать ответ и решение

Заметим, что данная функция определена при $x> 3,$ поэтому далее будем рассматривать ее на промежутке $(3;+∞ ).$

Найдем критические точки заданной функции

f(x) =2x − ln(x− 3)+5

Для этого вычислим её производную:

f′(x)= (2x)′− (ln(x − 3))′+5′ = 1 2x − 7 = 2 − x−-3 + 0=-x−-3

Далее найдем нули производной:

f′(x)= 0 ⇒ 2x−-7 = 0 x− 3 2x − 7 = 0 ⇒ x= 3,5

Единственная критическая точка — это $x= 3,5,$ в этой точке производная меняет знак. Для того чтобы определить, является ли $x= 3,5$ точкой минимума, нужно определить знаки производной при $x< 3,5$ и $x> 3,5.$

Если $x > 3,5,$ то $f′(x)> 0,$ если $x < 3,5,$ то $f′(x)< 0.$ Значит, точка $x= 3,5$ является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при проходе слева направо.

Ответ: 3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#13551

Найдите точку минимума функции $y = 2x− ln(x+ 11)+ 8.$

Показать ответ и решение

Обозначим $f(x) = 2x − ln(x+ 11)+8.$

Найдем производную функции:

f′(x)= (2x− ln(x+ 11)+ 8)′ = ′ ′ ′ = (2x)− (ln(x+ 11) +(8) = --1-- --1-- 2x-+-21 = 2− x+ 11 + 0 =2 − x+ 11 = x+ 11

Легко видеть, что полученная дробь зануляется при $−21 x= -2--$ и не определена при $x= −11.$

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Обе критические точки встречаются в нечетном числе множителей, следовательно, знак в них будет меняться.

$PIC$

В точке минимума функции её производная обнуляется и меняет знак с « $−$ » на « $+$ », так как до точки минимума функция убывала, а после — начала возрастать. Значит, $x =− 10,5$ — точка минимума функции $y = 2x − ln(x+ 11)+8.$

Ответ: -10,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32459

Найдите точку максимума функции $2 y =2x − 25x+ 39lnx− 54.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

39 4x2− 25x+ 39 y′ = 4x− 25+-x = -----x------

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ 4x2− 25x + 39 = 0 ⇔ x= 3; 13 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;3)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. При $( 13) x∈ 3;4$ производная отрицательна, то есть функция убывает. При $(13 ) x∈ 4-;+ ∞$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32458

Найдите точку максимума функции $2 y = 0,5x − 7x+ 12ln x+ 8.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

12 x2− 7x+ 12 y′ = x− 7+-x = ----x-----

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 − 7x +12 = 0 ⇔ x= 3;4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;3)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(3;4)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x ∈(4;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x = 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32457

Найдите точку максимума функции

3 y =2ln(x +4) − 8x− 19

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −4$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 6(x +4)2 6 y = (x+-4)3-− 8= x+-4 − 8

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x +4 =0,75 ⇔ x =−3,25

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−4;− 3,25)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(−3,25;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −3,25$ является точкой максимума.

Ответ: -3,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32456

Найдите точку максимума функции

2 y = ln(x+ 4) +2x+ 7

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x⁄= −4$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2(x+ 4) 2 y= (x+-4)2 +2 = x+4-+2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 4= −1 ⇔ x= −5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(−5;−4)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −5$ является точкой максимума.

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32455

Найдите точку максимума функции

2 y =2x − 13x +9lnx+ 8

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x >0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 9 4x2 − 13x+ 9 y = 4x− 13+ x =----x-----

Найдем нули производной:

9 y′ = 0 ⇒ 4x2− 13x +9 =0 ⇔ x= 1;4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;1)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $x ∈(1;9) 4$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(9;+∞ ) 4$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =1$ является точкой максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32454

Найдите точку максимума функции

y = 8ln(x+ 7)− 8x+ 3

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −7$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 8 y = x+-7 − 8

Найдем нули производной:

y′= 0 ⇒ x+ 7= 1 ⇔ x =−6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−7;− 6)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈ (−6;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −6$ является точкой максимума.

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32453

Найдите точку максимума функции

5 y = ln(x+5) − 5x

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −5$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 5(x +5)4 5 y = (x+-5)5-− 5= x+-5 − 5

Найдем нули производной:

y′= 0 ⇒ x+ 5= 1 ⇔ x =−4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−5;− 4)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈ (−4;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −4$ является точкой максимума.

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32448

Найдите точку минимума функции

3 y = 3x − ln(x +3)

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x> −3$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 3(x +3)2 3 y = 3− (x+-3)3-= 3− x+-3

Найдем нули производной:

y′= 0 ⇒ x+ 3= 1 ⇔ x =−2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;− 2)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает; при $x∈ (−2;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x =− 2$ является точкой минимума.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32340

Найдите точку минимума функции

2 6−x y = (x − 8x+ 8)⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 6− x 2 6−x 6−x 2 y =(2x− 8)e − (x − 8x+8)e =− e (x − 10x+ 16)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x − 10x+ 16= 0 ⇔ x= 2;8

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (2;8)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(8;+∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x =2$ является точкой минимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32339

Найдите точку минимума функции

2 2−x y = (x +3) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2−x 2 2−x 2−x 2 y = 2(x +3)e − (x+ 3) e =− e (x +4x +3)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x + 4x+3 =0 ⇔ x= −3;−1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−3)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (− 3;− 1)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(−1;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x = −3$ является точкой минимума.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32338

Найдите точку максимума функции

2 4−x y = (x +6) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 4−x 2 4− x 4−x 2 y= 2(x+6)e − (x+ 6)e = −e (x + 10x +24)

Найдем нули производной:

′ 2 y = 0 ⇒ x + 10x+24 =0 ⇔ x= −6;−4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−6)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (− 6;− 4)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(−4;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x = −4$ является точкой максимума.

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32337

Найдите точку минимума функции

2 x−5 y = (x − 2) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−5 2 x− 5 x−5 2 y = 2(x − 2)e + (x− 2) e =e (x − 2x)

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x − 2x =0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;0)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;2)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(2;+∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 2$ является точкой минимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#32336

Найдите точку максимума функции

2 x−6 y = (x − 2) ⋅e

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ x−6 2 x− 6 x−6 2 y = 2(x − 2)e + (x− 2) e =e (x − 2x)

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x − 2x =0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;0)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;2)$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $x∈(2;+∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 0$ является точкой максимума.

Ответ: 0