Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности и пересекаются в точках и Прямая расположена ближе к , чем к , и является общей касательной окружностей и , касаясь их соответственно в точках и . Через точку проведена параллельно касательной прямая, пересекающая в точке в точке . Прямые и пересекаются в точке прямые и пересекаются в точке прямые и пересекаются в точке Докажите, что — вписанный четырёхугольник.
Подсказка 1
Поставим цель доказать, что противоположные углы в четырёхугольнике TBRE в сумме дают 180 градусов. Чтобы сделать это, воспользуемся свойствами вписанных четырёхугольников, которые уже есть на картинке, и отметим в них равные уголочки.
Подсказка 2
У нас есть пары углов СТВ, САВ и BAD, BRD, которые опираются на одну дугу. Воспользуется свойствами смежных углов и докажем то, что хотели! Даже свойства касательных не понадобились.
Пусть а Тогда смежные с ними
Замечание. Точки и не подписаны на чертеже, потому что в решении их использовать не будем.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
В силу вписанности и получаем
Но и смежные, поэтому
Следовательно, так что вписанный.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На окружности по часовой стрелке поставлены точки , , , , . Известно, что . Пересечение отрезков и обозначим через . На продолжении отрезка за точку выбрали точку так, что . На продолжении отрезка за точку выбрали точку так, что . Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Отметим равные углы: как вписанные углы, отсюда следует, что Рассмотрим треугольники и У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда Тогда нужно доказать , что является частью высоты в равнобедренном треугольнике.
Рассмотрим вписанные четырехугольники и Из вписанности получаем и Рассмотрим треугольники и У них равны две стороны и угол между этими сторонами. Следовательно, эти треугольники равны, тогда Используя аналогичные рассуждения для треугольников и получаем что
В итоге получили, что точка равноудалена от вершин треугольника то есть является центром описанной окружности равнобедренного треугольника. Следовательно, является частью высоты треугольника то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольник вписана окружность радиуса которая касается стороны в точке На окружности отмечена точка диаметрально противоположная точке Прямая пересекает сторону в точке причём Найдите площадь треугольника
Источники:
Подсказка 1
Для начала хочется понять: что вообще делать с условием CA + AQ = 1? Перекинуть равенство на один отрезок - так себе идея. Давайте найдём это же равенство в треугольнике еще раз! Например, попробуем доказать, что CB + BQ = 1) Что можно сделать?
Подсказка 2
Если бы треугольники CBQ и CAQ состояли из касательных к окружности, то было бы удобнее разбираться с этим условием...А может быть, есть треугольники, некоторые стороны которых - касательные к вписанной окружности, и они связаны с CBQ и CAQ?
Подсказка 3
Проведите касательную в точке R к вписанной окружности. С помощью точек пересечения к сторонам треугольника получатся два треугольника. И вот они на самом деле подобны каким-то двум другим треугольникам и обладают очень интересным свойством) Останется применить всё, что знаем, и вспомнить формулу S = pr!
Проведём через точку касательную к пересекающую отрезки и в точках и соответственно. Пусть и - точки, в которых касается сторон и соответственно. Заметим, что Прямые и параллельны как перпендикуляры к одному диаметру. Поэтому треугольники и а также и подобны с коэффициентом Тогда
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный треугольник с прямым углом На его катете длины 52 как на диаметре построена окружность Из точки к этой окружности проведена касательная отличная от Перпендикуляр опущенный на отрезок пересекает отрезок в точке Найдите площадь треугольника если известно, что
Источники:
Подсказка 1
Для начала попробуем найти всё, что можем)) Воспользуемся всеми условиями на LH, LM, MH и найдем их) Тогда будет несложно найти оставшиеся отрезки на LM и DH! На картинке много прямых углов...что хочется сделать?
Подсказка 2
Найти среди них подобные! Учтём, что угол между касательной и радиусом прямой, тогда какие треугольники будут подобными (или даже равными)?
Подсказка 3
Треугольники MKO и KOD будут равными, тогда треугольники LHD и OKM будут подобны! Найдём отношение KM/LM. Теперь нам необходимо найти площадь треугольника LED, как можно это сделать?
Подсказка 4
Найдя его высоту и стороны! Высота его это LH, а в каких подобных треугольниках этот отрезок встречается, чтобы его найти?
Подсказка 5
Треугольники LHE и LMK подобны, поэтому несложно найти EH! Осталось лишь найти DE через DH и EH, что сделать из подобия несложно)
Пусть — центр окружности Заметим, что
Прямоугольные треугольники и подобны, поскольку
Тогда
Из подобия треугольников и мы получаем
Поэтому
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
B прямоугольнике сторона На стороне отмечена её середина — точка Из точки опущен перпендикуляр на Найдите длину
Подсказка 1
Видим, что у нас отмечена середина отрезка, а точку P и DP хотелось бы как-нибудь в целом получше связать с картинкой. Какое тогда дополнительное построение хорошо бы сделать?
Подсказка 2
Верно, давайте продлим DP до пересечения с продолжением BC в точке M. Что тогда можно сказать про прямоугольные треугольники PAD и BPM?
Подсказка 3
Да, они ведь равны по катету и острому углу. То есть мы получаем, что MB=AD=BC. Но нам нужен отрезок BQ. Заметим, что у нас получился ещё один прямоугольный треугольник. Что можно сказать про BQ в нём?
Подсказка 4
Верно, BQ является медианой в нём. Осталось только вспомнить, свойство медианы в прямоугольном треугольнике, и победа!
Продлим и до пересечения, пусть — это точка их пересечения.
Прямоугольные треугольники и равны, так как имеют равные катеты, потому что — середина, и равные острые углы, как вертикальные. Значит, Таким образом, — медиана прямоугольного треугольника и равна половине гипотенузе то есть 3.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На продолжении за точку стороны равностороннего треугольника выбрана точка , через неё проведена прямая, параллельная . Эта прямая пересекает продолжение стороны в точке . Медианы треугольника пересекаются в точке . Точка — середина . Найдите углы треугольника
Источники:
Подсказка 1
Проведем отрезок АК такой, чтобы АК было параллельно СМ! Заметим, что тогда АКМС это параллелограмм.
Подсказка 2
Давайте заметим, что треугольник BNM правильный, откуда для его центра O: OM = ON ! Тогда мы можем попробовать отметить равные углы и равные отрезки на нашей картинке (их тут много!)
Подсказка 3
Попробуйте доказать, что треугольники KON и COM равны, и, используя, что D - точка пересечения диагоналей параллелограмма, подсчитать углы в треугольнике!
Рассмотрим , откуда — параллелограмм. Заметим, что
- В , откуда он равносторонний и (в силу симметрии).
- Треугольник правильный, откуда для его центра : .
- Аналогично предыдущему .
Отсюда по двум сторонам и углу между ними , тогда . Поскольку является точкой пересечения диагоналей параллелограмма, то и является медианой равнобедренного . Отсюда и
снова пользуясь правильностью . В итоге получаем .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, проходящая через вершины и остроугольного треугольника , пересекает стороны и в точках и соответственно, а также проходит через центр описанной около треугольника окружности. Отрезки и пересекаются в точке , а . Найдите .
Пусть По условию
Рассмотрим дугу описанной окружности Опирающийся на неё центральный угол будет в два раза больше вписанного угла Значит,
Перейдём к рассмотрению окружности, проходящей через точки и Можно найти величину дуги так как мы знаем вписанный угол , опирающийся на неё.
С другой стороны, можно представить в виде суммы дуг и
Угол между хордами и находится как
Тогда
Вычислим величину дуги Используя угол заключенный между хордами и , получим
Угол между секущими и находится как
Поэтому
Cложим последние два равенства и получим
Теперь выражаем через сумму дуг:
Но в самом начале мы показали, что Значит,
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности касаются внутренним образом в точке . В большей окружности проведена хорда , касающающаяся меньшей окружности в точке . Найдите если и .
Источники:
Покажем, что является биссектрисой угла (это утверждение называется леммой Архимеда и при правильной формулировке может быть использовано на олимпиаде без доказательства). Тогда по свойству биссектрисы получим
______________________________________________________________________________________________________
Способ 1. Пусть общая касательная к окружностям пересекает прямую в точке . Пусть Отрезки и равны как отрезки касательных, проведенных из точки к меньшей окружности, следоваетельно, .
По теореме об угле между касательной и хордой верно, что . Наконец, по теореме о внешнем угле в треугольнике , .
_______________________________________________________________________________________________________
Способ 2. Рассмотрим гомотетию с центром в точке , переводящую меньшую окружность в большую. Пусть прямая пересекает большую окружность в точке , тогда прямая под действием гомотетии переходит в касательную к большей окружности, проведенную в точке . Таким образом, данная касательная паралельна , то есть является серединой меньшей дуги большей окружности.
_______________________________________________________________________________________________________
Способ 3. Пусть — середина меньшей дуги окружности большей окружности. Рассмотрим инверсию с центром в точке и радиусом . Точки и под действием инверсии останутся на месте, следовательно, прямая AB переходит в окружность, проходящую через точки , , и центр окружности инверсии — , то есть в большую окружность. Наконец, меньшая окружность переходит в окружность, которая касается образа большей окружности и образа прямой и гомотетична своему пробразу с центром в , то есть остается на месте, то есть точка перейдет в точку , а значит, прямая проходит через центр инверсии — .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный треугольник . На продолжении гипотенузы выбрана точка так, что прямая — касательная к описанной окружности треугольника . Прямая пересекает описанную окружность треугольника в точке . Оказалось, что биссектриса угла касается окружности . В каком отношении точка делит отрезок
Пусть и — точки пересечения биссетрисы угла с и соответственно, — центр . Угол между касательной к окружности и хордой равен вписанному углу, который опирается на откуда Кроме того, вписанные углы и опираются на хорду и поэтому равны. Тогда и треугольник равнобедренный. Поэтому биссектриса является также его медианой и высотой. Значит, , поскольку и перпендикулярны .
Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, откуда Из прямоугольного треугольника мы получаем, что и Тогда и по свойству биссектрисы
откуда