Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Источники:
Подсказка 1
Конечно, эту задачу можно решить с помощью производной… Но давайте попробуем найти более красивое решение! Давайте подумаем, нам нужно найти минимальное значение суммы двух корней, а что мы знаем про корни и как тогда можно представить их?
Подсказка 2
Да, корни всегда положительны! Поэтому мы можем представить их как отрезок или же вектор на плоскости! То есть, корень – это длина нашего вектора! В таком случае, каких векторы можно взять(с какими координатами), чтобы длина первого равнялась первому корню, а длина второго равнялась второму корню?
Подсказка 3
Так, длина вектора – это корень из суммы квадратов его координат! Первое подкоренное выражение обращается в ноль при x=-3 и при x=2, а второе при x=1 и при x=-5. Поэтому первый вектор равен (x+3;2-x), а второй вектор: (1-x)(x+5). Что можно сказать про сумму этих векторов?
Подсказа 4
Да, сумма этих векторов равна другому вектору: (4; 7). А длина этого вектора равна √65. Но заметим, что сумма длин исходных векторов не меньше чем длина получившегося вектора! Осталось показать, что минимальное значение достигается и задача решена!
Рассмотрим векторы
Так как
то
Равенство выполняется, когда эти векторы сонаправлены; соответствующие значения является корнем уравнения и равно .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Подсказка 1
Посмотрим внимательно на функцию f, что можно сказать про неё вне зависимости от того, как раскроются модули?
Подсказка 2
Верно, в любом случае f - линейная функция(просто из соображений того, что у нас нигде нет степени x большей единицы)! В таком случае, что можно сказать про её промежутки монотонности?
Подсказка 3
Да, сначала f убывает, а после этого возрастает! Тогда надо найти промежуток, на котором f убывает, а после этого промежутка возрастает.
Подсказка 4
Заметим, что если 6 < x < 7, то угловой коэффициент нашей прямой будет меньше 0, а если 7 < x < 8, то угловой коэффициент уже больше 0!
Заметим, что как бы ни раскрывались модули, будет линейной функцией, которая имеет вид где коэффициенты зависят от промежутка на числовой прямой. Тогда разобьем числовую прямую на отрезков: Тогда это угловой коэффициент на - том промежутке.
Заметим, что Это значит, что сначала убывает, а потом возрастает. Т.к. при а при Значит наименьшее значение функции достигается при Оно равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция такова, что и для любого . Найдите , если .
Источники:
Первое решение.
Из равенства мы получаем формулу . Кроме того, . Но тогда
Второе решение.
Докажем, что для любого целого верно откуда будет следовать
Шаг индукции: если то при подстановке в равенство получаем и при подстановке в равенство получаем Таким образом, переход доказан для всех чисел одинаковой чётности, поэтому нужно проверить выполнение предположения для базы индукции на чётных и на нечётных отдельно.
Для чётных при получаем , а для нечётных при тоже формула верна.