Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра существует прямая, касающаяся графика функции в двух точках? Для каждого такого значения параметра найдите уравнение соответствующей прямой.
Подсказка 1
Что означает касание? Какую систему нам нужно решать? Сколько корней у неё должно быть?
Условие, что прямая вида касается графика означает равенство функций и равенство производных в точке касания:
Нас интересует, когда эта система имеет ровно корня. Заметим, что система эквивалентна
То есть должна существовать прямая , которая касается графика .
При ее производная монотонная функция, а значит, имеет не более одного решения, тогда и вся система имеет не более одного решения.
При можно заметить, что касательные в точках локального минимума (нашли их как корни производной ) имеют одинаковый коэффициент наклона , а также в этих точках значение функции совпадает в силу чётности. Тогда прямая будет касательной сразу к двум точкам (только к двум точкам, потому что в точке касательная ; в других же точках коэффициент наклона касательной не ).
Возвращаясь к изначальным обозначениям, получаем . То есть искомая касательная это .
при , прямая
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
При каких значениях параметра система уравнений
не имеет решений?
Источники:
Подсказка 1
Запишем одз и преобразуем первое уравнение по свойствам логарифма! Как можно теперь выразить y через x?
Подсказка 2
Если вышло, что log_3(xy) = 1, то все верно) Тут мы получаем, что xy = 3, то есть y = 3/x. Давайте подставим во второе уравнение. Какие значения а мы теперь должны найти?
Подсказка 3
Мы должны найти все такие а, что полученное уравнение не имеет положительных корней, которые отличаются от 1 и 3. Наше уравнение выглядит как 3/x = 3 - ax. Домножим на x и получим ax^2 -3x + 3 = 0. Какие случаи стоит рассматривать?
Подсказка 4
Для начала можем посмотреть на a = 0, тогда уравнение не квадратное. С этим случаем легко разобраться. Со случаем a!=0 вот что можно делать: либо у него нет корней, либо они есть, либо они отрицательные, либо положительные корни - 1 или 3)
Область допустимых значений переменных задается условиями
Из первого уравнения получаем
откуда .
Подставив во второе уравнение, получим
Мы должны найти все такие , при которых это уравнение не имеет положительных корней, отличных от 1 и 3.
Если , то единственный корень. Но .
Если же и дискриминант - отрицателен, то действительных корней нет вообще.
Итак при исходная система решений не имеет. При хотя бы один положительный корень у квадратного уравнения есть, поскольку сумма корней и их произведение имеют одинаковый знак. Если же один из корней равен 3, то и уравнение имеет также корень , а исходная система имеет решение