Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Среди людей, не говорящих по-английски, говорят по-французски, а среди людей, не говорящих по-французски, говорят по-английски. Во сколько раз число людей, не говорящих по-французски, больше числа людей, не говорящих по-английски?
Подсказка 1
Пусть на английском НЕ говорят х человек, а на французском - y. Какое значение мы можем однозначно выразить, используя эти переменные?
Подсказка 2
Да, можем из условия найти количество людей, не знающих ни один из этих языков, и составить уравнение для x y. Теперь нужно только аккуратно всё посчитать и найти отношение
Пусть — число людей, не говорящих по-английски, а — число людей, не говорящих по-французски. Тогда из условия людей, не говорящих ни на одном из языков: от , а с другой стороны от .
Откуда , то есть .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Фитнес-центр продал 515 годовых абонементов, базовая цена каждого из которых составляла 8000 рублей. При этом каждый -й продаваемый абонемент был акционный и продавался со скидкой, равной 1000 руб. Покупатель каждого четвертого акционного абонемента получал, сверх того, и дополнительную скидку в размере 1500 руб. Определите число , если итоговая выручка фитнес-центра от продажи абонементов составила 3 979 500 руб.
Источники:
Подсказка 1
В данной задаче проще считать не сумму, потраченную на покупку абонементов, а сумму скидок. Чему она равна?
Подсказка 2
Сумма скидок это 515*8000-3979500. Теперь остаётся лишь посчитать её другим способом и составить уравнение...
Подсказка 3
Будем рассматривать только абонементы со скидкой. Пусть со скидкой 1000+1500=2500 было продано x абонементов. Сколько тогда было продано со скидкой 1000?
Подсказка 4
Тогда со скидкой 1000 было продано "примерно в три раза больше", а если строго, то 3x+r, где r это 0, 1, 2 или 3. Теперь составляем уравнение в целых числах и находим из него x и r.
Подсказка 5
Как теперь найти m? Для этого достаточно найти количество всех билетов со скидкой 1000 и...
Подсказка 6
Разделить 515 на это количество.
Пусть — количество абонементов, проданных с максимальной ( pуб.) скидкой. Количество остальных акционных абонементов тогда выражается формулой , где . При этом общая сумма скидок, равная (руб.), равна с другой стороны (руб.)
Уравнение при не имеет целых корней, а при получается Искомое теперь находим как частное от деления 515 на
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В фирме работало 150 сотрудников, в том числе 73 женщины. Затем произошло объединение с другой фирмой, где женщины составляли В результате доля женщин среди сотрудников стала равна Найдите все возможные целые значения
Подсказка 1
Посчитаем, сколько всего сотрудников каждого пола оказалось в фирме после слияния.
Подсказка 2
Измерять количество людей через проценты не очень удобно, лучше запишем соотношение полов в виде 2n:3n. Теперь, добавляя количество людей в первой фирме, можно найти отношение количества женщин к количеству людей всего
Подсказка 3
Да, получаем сумму из целого числа и дробного, в знаменателе которого стоит n. Вспомним, что и n, и сама дробь должны быть целыми неотрицательными числами, и найдём все возможные варианты
В фирме, с которой произошло объединение, отношение числа женщин к числу мужчин равнялось Поэтому можно полагать, что там было женщин и мужчин, где n В результате объединения получилась фирма, среди сотрудников которой, ровно женщин. Поскольку
то число делит и может быть равным Соответствующие значения равны
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Какие линейные размеры может иметь прямоугольный параллелепипед, если его объем равен площадь полной поверхности равна а периметр основания равен ?
Источники:
Подсказка 1
Прямоугольный параллелепипед задаётся своими сторонами, так давайте обозначим их переменными x, y, z.
Подсказка 2
Мы получили систему из трёх уравнений с тремя неизвестными, её можно решить методом подстановки.
Пусть его стороны тогда получаем систему
Получили два случая.
В первом откуда (второй вариант не будем включать из-за симметрии обозначений).
Во втором и
см см см (с точностью до порядка следования)
или
см см см (с точностью до порядка следования)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В некотором регионе работающих — бюджетники, и их зарплата в среднем на ниже средней зарплаты по этому региону. На сколько процентов должна повыситься зарплата бюджетников, чтобы сравняться со средней зарплатой всех работающих?
Пусть - число всех работающих, их средняя зарплата. Тогда число бюджетников равно , а их средняя зарплата равна . Зарплата всех бюджетников равна . Средняя зарплата остальных работающих равна
Чтобы зарплата бюджетников стала равной зарплате всех работающих в данном регионе, необходимо чтобы она выросла с до , то есть на
на .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
1 января 1019 года количество золотых монет у купца Ивана относилось к количеству золотых монет у купца Петра как . Каждый день 1019 года, начиная со 2 января, у одного из них количество золотых монет увеличивалось (у Ивана — ровно на 7 монет, у Петра — ровно на 3 монеты), а у второго оставалось неизменным. Укажите ближайшую дату, когда отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать
Подсказка 1
Попробуйте записать то отношение, которое нам дали в задаче математически. Как в таком случае можно записать прибавление по 7 монет для одного человека и по 3 монеты для другого человека?
Подсказка 2
Да, если Вы сделали всё правильно и привели подобный слагаемые, то должно было получиться равенство вида 49k = 9m, где k, m — целые неотрицательные числа! Осталось понять, при каких k и m это может выполняться.
Подсказка 3
Конечно, так как их сумма должны быть минимальной(исходя из вопроса задачи), то сами k и m должны быть минимально возможными! Возможно, быстрее понять правильный ответ поможет факт: НОД(49; 9) = 1
Пусть и — первоначальное количество монет у Ивана и Петра соответственно.
Через некоторое время количество монет у Ивана будет , а у Петра . При этом .
Следовательно, .
Нужно определить при какой наименьшей сумме это возможно.
Так как должно делиться на , а — на , то наименьшая сумма равна .
Итак, отношение количества монет у Ивана к количеству монет у Петра снова может стать только через дней, то есть февраля года.
февраля года
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Турнир по стрельбе предполагает несколько серий по 10 выстрелов каждая. В одной серии Иван выбил 82 очка, в результате чего среднее количество очков, выбиваемых им за серию, увеличилось с 75 до 76 очков. Сколько очков должен выбить Иван в следующей серии выстрелов, чтобы среднее количество очков, выбитых за серию, стало равно
Пусть - выбитые очки за рассматриваемых серий, в последней из которых Иван выбил 82 очка. Тогда
и
Решая полученную систему, находим и .
Пусть для выполнения условия задачи Ивану необходимо выбить очков. В этом случае получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сотрудники фирмы делятся на трудяг и лентяев. В году средняя зарплата трудяг превышала в два раза среднюю зарплату лентяев. Повысив свою квалификацию, трудяги в году стали получать на больше, а зарплата лентяев не изменилась. При этом часть лентяев уволили в конце года. Средняя зарплата всех сотрудников в году стала на больше, чем была в году. Найдите, сколько процентов от общего числа сотрудников составляли в году трудяги, если в году их было
Источники:
Подсказка 1
Надо придумать, какие бы такие переменные ввести, чтобы они нормально описывали происходящее. Подумаем, какие есть независимые “составляющие” у задачи. Во-первых, число людей, его для удобства в начале можно обозначить за 10х. Во-вторых, зарплаты этих людей, и в-третьих, доля сотрудников, которых уволили. Вводя эти три величины, можно описать всё, что присходит в задаче. Неважно, например, какую вводить переменную: “зарплата трудяги” или “зарплата лентяя” — они все равно выражаются друг через друга. Поэтому вводим переменные из соображений удобства подсчетов.
Подсказка 2
Понятно, что такое средняя зарплата — количество всех денег, отнесенное к числу сотрудников. Как раз от этой величины и надо отталкиваться — записываем через наши три переменные, чему средняя зарплата была равна в начале и чему стала равна в конце. Отсюда получится выразить k — долю уволенных лентяев, а зная k, легко понять, как изменилась доля трудяг среди работников.
Пусть в было лентяев и трудяг, при этом зарплата лентяев была трудяг — Отсюда в зарплата трудяг стала то есть в полтора раза больше. Пусть также оставили долю всех лентяев (остальных уволили), посчитаем среднюю зарплату. Для этого нужно весь поток денег поделить на число сотрудников. В она была
а в стала
где последнее равенство следует из повышения зарплаты в раза.
В итоге то есть лентяев осталось Тогда доля трудяг равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Каждый из 2017 учащихся средней школы изучает английский или немецкий язык. Английский язык изучают от до от общего числа учащихся, а оба языка изучают от до . Какое наибольшее число школьников может изучать немецкий язык?
Подсказка 1
Что надо сделать с количеством учеников, которые изучают английский язык или оба языка, чтобы максимизировать число тех, кто изучает немецкий?
Подсказка 2
Для ответа на предыдущий вопрос, давайте составим уравнение на количество учеников! 2017 = A + C - B(это можно понять с помощью кругов Эйлера), где A - те, кто изучает только английский, C - количество тех, кто изучает только немецкий, B - оба языка! Отсюда видно, что C = 2017 - A + B, то есть надо минимизировать число тех, кто изучает английский и максимизировать число тех, кто изучает обо языка!
Подсказка 3
Английский изучает не менее 2017*0.7 = 1411.9, а оба языка изучают не более 2017*0.08 = 161.31, остаётся в правильную сторону округлить числа, и задача решена!
Пусть человек изучают английский язык, – немецкий язык, а – оба языка. Тогда Известно, что и
Следовательно,
Тогда наибольшее а достигается при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике отметили шесть ячеек: в вершинах и в серединах сторон. Шесть последовательных натуральных чисел от 10 до 15 вписаны в эти ячейки таким образом, что суммы трех чисел на каждой из сторон равны. Какое максимальное значение может принимать эта сумма?
Подсказка 1
Давайте предположим, что сумма на каждой стороне равна S. Запишите уравнения с этими суммами и сложите их все) Что можно заметить?
Подсказка 2
С одной стороны будет сумма всех ячеек + сумма всех вершин треугольника (т.к. они в двух суммах участвовали каждая), а с другой - 3S. Попробуйте с помощью этого оценить S, ведь мы точно знаем сумму всех чисел)
Подсказка 3
Да, S ≤ 25 + (15+14+13)/3 = 39! Осталось привести пример)
Пусть — указанные числа, записанные в порядке их следования в кругах при обходе по часовой стрелке и числа a, c, e располагаются в вершинах треугольника. Если — рассматриваемая сумма, то имеем:
Складывая все уравнения системы, получаем: где то есть:
Следовательно, число не может быть больше числа
Приведем пример, когда достигается.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В школе учатся школьников, у каждого из которых каждый день по пять уроков. Любой учитель этой школы проводит в день урока. Сколько учителей работает в школе, если в каждом классе ровно учеников?
Подсказка 1
Давайте посчитаем количество классов в школе, чтобы понять, сколько всего нужно провести уроков.
Подсказка 2
А теперь обозначьте за x количество учителей и составьте уравнение.
Пусть учителей тогда они могут провести уроков в день. Школьникам же требуется уроков, где первое число означает число классов, которым нужно проводить уроки. Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В организации работает 200 сотрудников. Для изменения административно-правового статуса организации необходимо, чтобы за это проголосовали не менее ее сотрудников. При первом голосовании было принято решение не менять административно-правовой статус. Через год статус организации решили поменять, поскольку число сторонников этого изменения выросло в раза. Сколько сторонников изменения правового статуса было изначально, если общее число сотрудников не менялось?
Пусть — число изначальных сторонников изменения. Тогда по условию а иначе административно-правовой статус компании изменился бы сразу. Так как — целое, то
С другой стороны, через год стало сторонников изменения, и изменение было принято. Тогда получаем неравенство
То есть Так как, — целое, то
Из условия следует, что — целое, значит, Таким образом, нужно найти число , делящееся на которое удовлетворяет условию Легко видеть, что это единственное число
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Инвестиционная компания вложила равное количество денег в несколько проектов. При этом для каждого проекта в случае успеха вложенный капитал увеличивался на , а в случае неудачи фирме возвращалось только четверть вложенных в проект средств. За год фирма увеличила свой капитал на 20 Определите, во скольких случаях фирме сопутствовал успех, если средства были вложены не более чем в 25 проектов.
Пусть - деньги, вкладываемые в один проект, - число всех проектов, . Тогда начальный капитал фирмы равен . Пусть количество успешных проектов, тогда ( ) - количество неуспешных проектов. Из вложенных в неуспешные проекты денег компании вернется
Из вложенных в успешные проекты денег компании вернется
По условию задачи, за год фирма увеличила свой капитал на , то есть он составил
Получим уравнение:
Среди чисел только удовлетворяет условию натуральности числа , поэтому .