Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 105, которые делятся на 3, но не делятся на 5.
Подсказка 1
Подумайте о том, как мы можем описать сумму всех чисел, которые делятся на 3 и не делятся при этом на 5. Можем ли мы ее представить в виде какой-то разности?
Подсказка 2
Верно! Мы можем найти сумму всех чисел с нашего промежутка, которые делятся на 3 и потом вычесть сумму всех чисел, которые делятся и на 3 и на 5! А каждую из этих сумм легко посчитать при помощи формулы арифметической прогрессии!
Сначала возьмём все числа, кратные — это . Их будет 35, а их сумма
Теперь уберём из них числа, кратные 5, тогда это будут не превосходящие 105 числа, которые делятся на , с суммой
В итоге получаем
1470
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Числа образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первых десяти членов этой прогрессии равна 9, а сумма последних десяти членов равна 11. Найдите сумму .
Подсказка 1
Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для разности двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?
Подсказка 2
Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: посмотрите, на сколько отличаются сумма, которую найти нужно и известные суммы. Тогда достаточно найти чему равно соответствующее выражение и прибавить его значение к известной сумме (или вычесть из известной) и задачка будет убита!
Пусть – разность прогрессии, – первый член, тогда . Из условия получаем
Откуда
а значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана геометрическая прогрессия. Её четвёртый член равен 5, а член с номером 54 равен 160 . Найдите член этой прогрессии с номером 64 .
Подсказка 1
Давайте введем переменную для первого члена прогрессии и для частного двух соседних членов. Составьте с ними уравнения согласно условиям задачи и выражение для нахождения. Что теперь необходимо найти, чтобы определить ответ на вопрос?
Подсказка 2
Конечно, достаточно найти каждую из переменных (и это вполне реально сделать!). Но можно действовать и чуть хитрее: нам известны 2 члена прогрессии, а нужно найти 3ий, который на известном “расстоянии” от них. Тогда достаточно найти частное соседних членов в нужной степени и домножить на него известное число!
Пусть – знаменатель прогрессии, – первый член, тогда . По условию
откуда
Тогда
320
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сумма положительной бесконечно убывающей геометрической прогрессии в раза больше её второго члена. Во сколько раз второй член меньше первого?
Источники:
Подсказка 1
Давайте обозначим первый член прогрессии за b. Тогда наше условие переписывается так: b/(1− q) = 4bq. Теперь вспомним, что прогрессия непостоянна, (то есть не убывает), как это можно использовать теперь?
Подсказка 2
Верно, делим на b! И домножаем на 1-q для удобства. Попробуйте разложить получившееся уравнение на множители.
Пусть и — первый член и знаменатель прогрессии соответственно, тогда по условию имеем:
Так как то на можно поделить:
Таким образом, то есть второй член в раза меньше первого.