Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Не забываем выписать ОДЗ и смотрим на косинус справа. Он явно не даст нам работать только с тангенсами и котангенсами, значит, приводим все к выражению с косинусами и синусами!
Подсказка 2
Все еще остались двойные углы – самое время от них избавиться! А заодно и дроби собрать в одну, приведя к общему знаменателю. Приводите числитель к красивому итогу и смотрите, что получилось :)
Подсказка 3
А получилось уже совсем несложное тригонометрическое уравнение! Можем ли еще сильнее упростить его, перейдя к одной тригонометрической функции?
Подсказка 4
Если домножить обе части на знаменатель, то получится заменить квадрат косинуса на выражение с квадратом синуса по ОТТ! Остается лишь решить квадратичное уравнение и добить до ответа. Для удобства можно ввести новую переменную t = sin (x) и решать квадратное относительно t уравнение.
Учтём, что — это задаёт всю ОДЗ, далее преобразуем выражение слева:
В итоге
То есть (что удовлетворяет ОДЗ).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Раскрывать по формуле синуса суммы и косинуса суммы тройные, а уж тем более “5-рные” углы мы не хотим. А что еще можно сделать с первым слагаемым левой части?
Подсказка 2
Конечно применить формулу произведения синусов! Тогда после преобразований получим выражение только с двойными углами. А с ними уже проще работать! Но не спешите применять формулу к тангенсу, ведь слева останется еще синус, который все портит. Попробуйте сначала перейти к выражению с синусами и косинусами!
Подсказка 3
Чтобы не работать с дробями – домножаем обе части на знаменатель (не забывая выписать ограничение) и теперь уже смело можем раскрывать двойные углы. Что общего у всех слагаемых?
Подсказка 4
Есть общий множитель! Выносим его за скобку, предварительно перенеся все в одну сторону – приговор для него уже подписан. А со скобкой, возможно, еще стоит поработать! Приведите ее к выражению, в котором есть только косинусы и числа. На что похоже полученное выражение?
Подсказка 5
Конечно на квадратный трехчлен! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Ищем нули известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.
Снова вспомним формулы , тогда получим:
Если , то , иначе
Тут можно заметить, что для верно , поэтому достаточно добавить в ответ серию для второго решения
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
У нас есть произведения синусов на косинусы. Давайте применим соответствующую формулу!
Подсказка 2
Супер! Теперь уничтожаем одинаковые слагаемые и смотрим, как расправиться с остальными. Обратите внимание на то, что один из полученных углов вдвое больше другого!
Подсказка 3
После того, как воспользуетесь формулой синуса двойного угла, получаем почти что обычное уравнение, которое мы прекрасно умеем решать! Выносим общий множитель за скобки и уничтожаем задачу!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Перед нами уравнение с двумя триг. функциями. А можем ли как-то перейти всего к одной? С одним неизвестным выражением проще работать.
Подсказка 2
Можем раскрыть косинус двойного угла и применить ОТТ ко всем синусам (или ко всем косинусам), ведь они в удобных степенях! Но пока перед нами все же уравнение 4ой степени. А как можно упростить его внешний вид?
Подсказка 3
Конечно, ввести замену квадрата триг. функции! Получим обычное квадратное уравнение, которое легко решится. Остается только добить до ответа!
Обозначим и получаем
Так как то может быть только Получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Подсказка 1
В аргументе тригонометрических функций у нас стоит разность квадратов, попробуем получить её не только в аргументах, но и множителем! Что для этого можно сделать?
Подсказка 2
Формула разности квадратов помогает нам: запишите вместо нашей системы равносильную ей, полученную сложением и вычитанием наших исходных уравнений. А затем можно перемножить имеющуюся пару уравнений.
Подсказка 3
Тригонометрическая формула, связывающая квадрат косинуса с квадратом тангенса поможет нам сделать интересный вывод! Таким образом мы узнаём значение x² - y²
Подсказка 4
Остаётся подставить найденное в систему и решить линейные уравнения!
Будем получать не только под тригонометрическими функциями, для этого сначала напишем разность и сумму уравнений, а затем перемножим полученные равенства (активно пользуясь формулой разности квадратов)
Как известно, , откуда скобка равна единице и . Остаётся подставить результат в систему
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение:
Подсказка 1
Перед нами квадратные корни. Было бы здорово от них избавиться. А всегда ли мы можем это сделать?
Подсказка 2
Обе части должны быть неотрицательными! Так что выписываем такое ограничение (можем воспользоваться тем, что в равенстве мы можем записать ограничение только для одной части равенства) и возводим в квадрат. А на что похоже полученное выражение?
Подсказка 3
Конечно, на квадратное уравнение! Вот только оно относительно функции, а не просто переменной. Решаем известным Вам способом и получаем уже простейшие тригонометрические уравнения! Для удобства можно ввести новую переменную t = cos (x) и решать квадратное относительно t уравнение.
Запомним, что и возведём в квадрат, тогда:
Откуда . В силу имеем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1!
Заметим, что наше уравнение квадратное относительно косинуса! Давайте попробуем его решить, мы хотим, чтобы дискриминант был >= 0. При каком условии это выполняется?
Подсказка 2!
Дискриминант: sin^4(...) - 1, значит sin^4(...) должен быть равен 1! Осталось только разобраться, чему в таком случае должен быть равен cosx!
Замечание. Уравнение можно рассматривать как квадратное относительно потребовать, чтобы его дискриминант был неотрицательным, откуда сразу же вытекает условие, что синус равен . Рассмотрим эквивалентный подход, чтобы показать, почему это справедливо:
Пусть для краткости . Ясно, что У нас есть уравнение Но так как то оба слагаемых в левой части неотрицательны. А их сумма должна быть равна нулю. Это равносильно условию, когда каждое слагаемое равно нулю:
С учётом получаем Итак, условие задачи эквивалентно системе уравнений:
то есть
Отсюда уже находим условия на :
Остаётся эти условия пересечь, совместив параметры и . Выразим :
Так как в правой части целое число, в левой может быть только и тогда
окончательно
В итоге ответ уже для любого целого
Замечание. Решить систему можно с помощью тригонометрической окружности, показав, что подходит только точка, соответствующая Но определять период всё равно придётся из уравнения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Преобразуем левую и правую части уравнения при помощи формул синуса разности и синуса двойного угла:
Это равносильно тому, что
Преобразуем сумму синусов в произведение:
Еще раз воспользуемся формулой синуса двойного угла::
Учитывая, что нули функции являются нулями функции получаем::
Общие нули и имеют вид Точно так же выглядят общие нули и . Следовательно, из серий нужно выкинуть числа вида .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Подумайте, при каких условиях дробь равна 0? Они будут составлять систему!
Подсказка 2
В полученных выражениях есть и синусы и тангенсы. Стоит все переписать через синусы и косинусы, ведь их связь нам более привычна! А заодно и общий множитель найдем, применив формулы двойных углов :)
Подсказка 3
Остается решить только несложные уравнения из системы и пересечь соответствующие результаты! Не забывайте, что для условия со знаком “не равно” необходимо, чтобы оба множителя одновременно были не равны нулю, а не “хотя бы один”, как со знаком равенства.
Выпишем эквивалентную систему
Отсюда , при этом , где первое значение невозможно (тогда ). После несложной проверки ОДЗ, получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Слагаемые-дроби не очень удобны: приводим к общему знаменателю каждую из частей уравнения! А что получилось в числителе?
Подсказка 2
Это же формула косинуса суммы! При каких условиях теперь может получиться равенство?
Подсказка 3
Либо числитель равен нулю, либо знаменатели равны. С первым проблем не возникает, решаем и сверяемся с ОДЗ. А что можно сделать с равенством знаменателей?
Подсказка 4
Перед нами синус двойного угла! Только двоек не хватает (но их мы легко добавим :) ). Какую формулу теперь можно применить, чтобы не раскрывать обратно по синусу двойного угла?
Подсказка 5
Формулу разности синусов! Она как раз даст нам удобное произведение, которое мгновенно распадется на простейшие тригонометрические уравнения. Решаем их и задачка убита!
Подсказка 6 (отбор корней)
Пересекать с ОДЗ полученные корни лучше всего на тригонометрической окружности. Отмечаем на ней точки, которые хотим пересечь с ОДЗ одним цветом, точки для серий из ОДЗ (которые как раз хотим “выколоть”) другим и оставляем те корни, которые не совпали!
Приводя к общему знаменателю:
В каждой дроби сверху записан . Если , то , что невозможно в силу ОДЗ, то есть:
Здесь не подходит по тем же причинам. Осталось только . Чтобы проверить ОДЗ, посмотрим на корни для отрезка — это . Среди всех этих решений 5 в знаменателе сократится только для и — в этих точках снова будет равен нулю, но для остальных 5 останется в знаменателе и не исчезнет для выражений и , поэтому синусы и косинусы с аргументами и не могут равняться нулю в таких точках — помним, что в несократимом виде в знаменателе может остаться только двойка для равенства нулю синуса или косинуса. То есть нужно исключить только (5 нужна, чтобы задать период между “плохими” корнями).
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Подсказка 1
Синус тройного угла раскрывать не очень хочется (потом явно придется еще двойные раскрывать), так что вспоминаем формулу суммы синусов и пробуем применить её!
Подсказка 2
Получили уже что-то более приятное, только две функции остались различные! Стоит попробовать разложить на множители, раз уж один множитель в слагаемых одинаковый.
Подсказка 3
Вспоминаем, когда произведение двух множителей равно 0 и решаем базовые тригонометрические уравнения! Не пугайтесь двойного угла, можете заменить его на новую переменную y, чтобы было проще выписывать решения :)
Поскольку , то возможны два случая.