Задача №76773: Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 13. Решение уравнений

13.11 Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76773

а) Решите уравнение $|2cos2x|= |8cosx +3|.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 3π] π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Уравнение типа $|f(x)|= |g(x)|,$ которое равносильно

f(x)= ±g(x)

Следовательно, для нашего уравнения получаем

⌊ 2cos2x= 8cosx +3 ⌈ ⇔ 2cos2x= − 8cosx− 3 ⌊ 2 ⌈4 cos x− 8cosx− 5= 0 4 cos2x+ 8cosx+ 1= 0

Сделаем замену $t =cosx$ и решим каждое из двух квадратных уравнений. Получим корни

√ - √ - t= 5 ;− 1;−1 +--3;−1 −--3 2 2 2 2

Первый и четвертый корни не подходят, так как $t∈ [− 1;1].$ Сделаем обратную замену:

⌊ cosx= − 1 || 2 - ⇔ ⌈ √3- cosx= − 1+ 2 ⌊x = ±2π + 2πn,n ∈ ℤ || 3 ⌈ ( √3-) x = ±arccos −1+ 2 + 2πm,m ∈ℤ

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$( -) 4−π3π aπrccos −1+ √23 +2π 32$

Таким образом, подходят корни $4π ( √3) 3 ;− arccos −1 + 2 + 2π.$

Ответ:

а) $( √-) ± 2π+ 2πn,n∈ ℤ;± arccos −1 + -3- + 2πm,m ∈ ℤ 3 2$

б) $( √-) 4π;− arccos − 1+ -3- + 2π 3 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse