Тема 13. Решение уравнений
13.11 Тригоном./показат./логарифм.: иррациональные или модульные уравнения
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#76768

а) Решите уравнение |cosx +sinx|= √2sin2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [   7π]
 2π;2- .

Показать ответ и решение

а) Уравнение имеет вид |f(x)|= g(x).  Такое уравнение равносильно системе

(
{ f(x) = ±g(x)
(
  g(x) ≥0

Следовательно, наше уравнение равносильно системе

(              √-
{ cosx+ sinx = ± 2 sin2x
( √2 sin2x≥ 0

Заметим, что cosx +sinx= √2-sin(x + π).
                     4  Следовательно, система равносильна

( ⌊√ -  (    π)   √-              ( ⌊   (   π )
|||| |  2sin x + 4- =  2sin 2x         |||| |sin x+ 4- = sin2x
|{ |⌈√ -  (     )    √-             |{ |⌈   (     )
||    2sin x + π- = − 2 sin2x    ⇔   ||  sin x+ π- = sin(−2x)
|||(            4                    |||(         4
  sin2x ≥ 0                          sin2x ≥ 0

Уравнение sina= sin b  равносильно совокупности

⌊
⌈ a= b+ 2πn,n∈ ℤ
  a= π− b+ 2πm,m ∈ ℤ

Тогда получаем систему

( ⌊                                ( ⌊
||| |x + π-=2x +2πn,n ∈ℤ             ||| |x = π-+2πn,n ∈ℤ
||||| ||    4                           ||||| ||    4
|||| ||x + π-=π − 2x + 2πm,m ∈ ℤ        |||| ||x = π-+ 2π-m,m ∈ ℤ
||{ ||    4                           ||{ ||    4   3
| ||x + π-=− 2x+ 2πk,k ∈ ℤ       ⇔   | ||x = −-π + 2π-k,k ∈ ℤ
||||| ||⌈    4                           ||||| ||⌈     12   3
||||  x + π-=π + 2x + 2πp,p ∈ℤ          ||||  x = − 3π + 2πp,p ∈ℤ
||||(      4                           ||||(        4
  sin2x ≥ 0                           sin2x ≥0

В первой серии sin 2x= sin π> 0,
          2  в четвертой          (    )
sin2x =sin − 3π  > 0.
            2  Следовательно, эти серии решений являются решением исходного уравнения.

Рассмотрим вторую и третью серии.

Вторая серия разбивается на три серии: x1 = π-+ 2πm,
    4       π  2π         11π
x2 = 4 +-3 + 2πm = 12-+ 2πm  и     11π   2π         19π
x3 =-12- + 3-+ 2πm = 12-+ 2πm,  m ∈ ℤ.  Заметим, что sin2x1 > 0,  а sin 2x2 < 0,  sin 2x3 < 0.  Следовательно, x= x1  является решением исходного уравнения.

Третья серия разбивается на три серии: x4 = −-π + 2πk,
     12        π   2π        7π
x5 =− 12 +-3 + 2πk = 12 + 2πk  и     7π   2π        5π
x6 = 12 + 3-+ 2πk = 4-+ 2πk,  k ∈ ℤ.  Заметим, что sin2x6 > 0,  а sin 2x4 < 0,  sin 2x5 < 0.  Следовательно, x= x6  является решением исходного уравнения.

В итоге, решением исходного уравнения являются серии x= π-+ 2πn,
   4  x = π-+2πm,
    4  x=  5π-+ 2πk,
    4  x =− 3π +2πp,
      4  n,m, k,p ∈ℤ.  После объединения получаем x = π-+πn,
    4  n∈ Z.

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

791ππ3π
224π4

Таким образом, подходят корни 9π;
 4  13π-.
 4

Ответ:

а) π+ πn,n ∈ℤ
4

б) 9π;
 4  13π
 4

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!