Система равносильна

Пусть — множество точек плоскости являющихся решением первого уравнения при условии Уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом Необходимо, чтобы окружность со множеством имела ровно две общие точки. Изобразим положения окружности, которые нам подходят:

Голубыс цветом изображено множество Все положения окружности, при которых и нам подходят. Здесь — радиус окружности, которая касается гиперболы в 1 и 3 четвертях, — радиус окружности, которая проходит через точки и (общие точки гиперболы и прямой ).

Найдем координаты точек и

В силу симметрии прямой и гиперболы относительно прямой точки и симметричны относительно Значит, если окружность проходит через точку то она проходит и через точку Так как то

Следовательно, Тогда нам подходят

Заметим, что в силу симметрии и окружности, и гиперболы относительно прямой если окружность касается части гиперболы в 1 четверти в точке то она касается и части гиперболы в 3 четверти в точке Причем в силу симметрии и окружности, и гиперболы относительно прямой точки и лежат на этой прямой. Следовательно, пусть где — точка касания окружности радиуса с гиперболой. Тогда

Тогда исходная система имеет ровно два решения при