Пусть и Пусть — вписанная окружность треугольника — вписанная окружность треугольника

По условию — описанный четырехугольник, значит, суммы длин его противоположных сторон равны, то есть

Нам нужно доказать, что окружности касаются и диагональ является их общей касательной. Мы знаем, что прямая является касательной каждой из окружностей, значит, нам достаточно доказать, что точки касания окружностей с прямой совпадают.

Пусть касается в точке а касается в точке Тогда нужно доказать, что точки и совпадают, то есть, что отрезки и равны.

Докажем лемму.

Длина касательной из вершины треугольника к его вписанной окружности равна разности полупериметра и противоположной стороны. В частности,

Рассмотрим произвольный треугольник Пусть его вписанная окружность касается сторон и в точках и соответственно. Тогда найдем длину отрезка касательной к вписанной окружности. Мы знаем, что отрезки касательных с окружности, проведенных из одной точки, равны. Поэтому и

Тогда можем составить систему:

Вернемся к исходной задаче. Применим доказанную лемму к треугольнику и вписанной окружности Получим, что

Применим лемму к треугольнику и вписанной окружности

Вспомним, что так как — описанный четырехугольник. Тогда

Значит, то есть совпадает с Следовательно, окружности и касаются, а диагональ является их общей касательной.