Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.
(МИОО 2012)
Пусть — треугольник с прямым углом при вершине . Сразу ясно, что возможны два случая: обе окружности касаются катетов либо одна из окружностей касается гипотенузы.
I случай
Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Точки , , , — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол треугольника прямой, значит, и — прямоугольники. Кроме того, , как отрезки касательных и — квадраты.
Точки и равноудалены от сторон углов с вершиной в точке точки , лежат на биссектрисах этих углов точки , , лежат на одной прямой. Окончательно по теореме Пифагора .
II случай
Пусть — центр вневписанной окружности, касающейся стороны , — центр вневписанной окружности, касающейся стороны . Точки , , , — соответствующие точки касания с прямыми, содержащими стороны треугольника. Тогда , так как соответствующие радиусы в точки касания перпендикулярны касательным, при этом угол треугольника прямой, значит, и — прямоугольники. Кроме того, , как отрезки касательных и — квадраты.
Пусть — точка пересечения прямой и отрезка . Тогда очевидно, что — прямоугольник и , , . Окончательно по теореме Пифагора .
или
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!