Тема 14. Задачи по стереометрии
14.15 Угол между прямой и плоскостью
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи по стереометрии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43075

Диагональ прямоугольного параллелепипеда, равная d,  наклонена к основанию под углом α  и к боковой грани под углом β.  Докажите, что объем параллелепипеда равен

     3        ∘-----------------   ∘           ∘
V = d sin αsin β cos(α + β)cos(α− β), 0  < α+ β < 90
Показать ответ и решение

Пусть AD = b,DC  = a,AA ′ = c.  Заметим, что △AA ′C  и △A ′D′C  прямоугольные. Следовательно, a = dsinβ,  c= dsinα.

Тогда

 2  2    2   2   2        3   2   2   2  2         2   2   2    2
a+b  = AC  = d cos α  ⇔   d sin β+b = d cosα   ⇔   b = d(cos α−sin β)

PIC

Тогда

          3        ∘ ------------
V = abc= d sinα sinβ ⋅ cos2α− sin2β

Преобразуем подкоренное выражение. Пусть ϕ = 90∘− β :

 cos2α− sin2β =

=cos2α− cos2ϕ=
=(cosα − cosϕ)(cosα + cosϕ) =

       α-+ϕ-   α−-ϕ-  α-+-ϕ   α-− ϕ
= − 4sin 2  sin  2   cos  2  cos  2  =

= − sin(α +ϕ)sin(α − ϕ)=
= − sin(90∘− (β− α))sin(− 90∘+ (α + β))=

=cos(α − β)cos(α+ β)

Так как это выражение находится под корнем, то cos(α+ β) >0,  следовательно, 0∘ < α+ β < 90∘.

В итоге получаем нужную формулу. Чтд.

Ответ:

Доказательство

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!