Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В основании пирамиды лежит ромб , сторона которого равна , а угол при вершине равен . Известно, что , , и, кроме того, что .
а) Докажите, что – высота пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью и ребром .
а) Рассмотрим основание . Так как , то равносторонний, следовательно,
. Тогда , где – точка пересечения диагоналей ромба. Тогда по теореме
Пифагора , следовательно, .
По обратной теореме Пифагора, так как , треугольник является
прямоугольным с прямым углом . Следовательно, .
Заметим, что по трем сторонам. Следовательно, .
Предположим, что – не высота пирамиды. Тогда опустим высоту . Проведем и
. Тогда по теореме о трех перпендикулярах и .
Прямоугольные треугольники и равны по общему катету и острому углу,
следовательно, . Отсюда следует, что прямоугольные треугольники и также
равны по катету и гипотенузе, следовательно, . Следовательно, точка равноудалена от
сторон угла , значит, лежит на его биссектрисе.
Таким образом, мы доказали, что основание высоты, проведенной из точки , будет лежать на прямой,
содержащей биссектрису угла (то есть на прямой ).
Но тогда из точки проведены две прямые и , перпендикулярные , что невозможно.
Следовательно, точки и совпадают.
б) Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Заметим, что как диагонали ромба, и , так как – высота пирамиды.
Следовательно, . Значит, – проекция на плоскость . Таким образом,
нужно найти угол . Обозначим его за .
По теореме Пифагора из :
Так как прямоугольный (), то
б)
Содержание критерия | Балл |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
Обоснованно получен верный ответ в пункте а) | 2 |
ИЛИ | |
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
ИЛИ | |
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
ИЛИ | |
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 3 |
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!