Проведем произвольную прямую в плоскости через точку и отметим на ней точку так, что . Докажем, что . Для этого докажем, что . Оба угла меньше развернутого, а на промежутке косинус монотонно убывает, поэтому предыдущие два неравенства равносильны.

Запишем теоремы косинусов для треугольников и

Последнее равенство верно, т.к. , а (перпендикуляр короче наклонной), т.е. знаменатели дробей равны, а числитель правой больше. Как уже было сказано выше, из этого неравенства следует, что .