Задача №36445: Алгебра. Теорема Виета — Каталог задач по ЕГЭ - Математика — Школково

Тема 18. Задачи с параметром

18.06 Алгебра. Теорема Виета

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#36445

При каких $a$ уравнение

2 2 2 log2(2x + (2a +1)x− 2a)− 2log4(x + 3ax +2a )= 0

имеет два различных корня, сумма квадратов которых больше 4?

Показать ответ и решение

Данное уравнение равносильно

2 2 2 log2(2x + (2a + 1)x− 2a)= log2(x + 3ax+ 2a) ⇔ ( { 2x2+ (2a +1)x− 2a= x2+ 3ax+ 2a2 ⇔ ( x2+ 3ax+ 2a2 > 0 ({ 2 2 x + (1 − a)x − 2a− 2a = 0 (⋆) ( x2+ 3ax+ 2a2 > 0 (⋆⋆)

По теореме Виета из уравнения $(⋆)$ определяем сумму и произведение корней:

( { x1+ x2 = a− 1 ( 2 x1x2 = −2a− 2a = 2a(−1− a)

Следовательно, корнями уравнения $(⋆)$ являются числа $x1 = 2a$ , $x2 = −1 − a,$ поскольку они удовлетворяют системе выше. Они различны при $2a⁄= − 1− a,$ то есть при $1 a⁄= − 3.$

Оба корня должны удовлетворять неравенству $(⋆⋆):$

( { 4a2+ 3a⋅2a+ 2a2 > 0 ( 2 2 ⇔ a< 1,a⁄= 0 (a+ 1)− 3a(1+ a)+2a >0

Чтобы сумма квадратов корней была больше 4, нужно

x21+ x22 = (x1+ x2)2 − 2x1x2 = (a− 1)2 − 2(−2a − 2a2)> 4

Отсюда

a ∈(−∞; −1)∪ (0,6;+∞ )

Пересекая это с условиями $a < 1,a ⁄= 0$ и $1 a⁄= − 3,$ получаем окончательно

a ∈ (− ∞;−1)∪ (0,6;1)

Ответ:

$a ∈(−∞; −1)∪ (0,6;1)$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse