Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть длины сторон треугольника являются натуральными числами , и одна из его высот равна сумме двух других. Доказать, что число является точным квадратом (натурального числа).
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно как-то записать условие на то, что одна высота равна сумме двух других. Через что тогда можно выразить высоту, чтобы равенство не хотелось сразу стереть из-за его громоздкого вида?
Подсказка 2
Верно, через площадь треугольника и сторону. Тогда наше равенство будет выглядеть как 2S/a = 2S/b + 2S/c => 1/a = 1/b + 1/c => bc = ab + ac. Если мы хотим сказать, что сумма квадратов сторон равна точному квадрату, то давайте подумаем какому конкретно квадрату это может быть равно(квадрат, который выражен через a,b,c).
Подсказка 3
Действительно, подходит квадрат (b + c - a)^2, ведь раскрывая скобки, мы получим, что a^2 + b^2 + c^2 + 2bc - 2ab - 2ac = a^2 + b^2 + c^2, так как bc = ab + ac. Что и требовалось доказать.
Пусть — площадь треугольника, а — высоты к сторонам соответственно.
Из формулы площади треугольника имеем, что
Без ограничения общности будем считать, что . Тогда
Откуда . Но тогда и можно сказать, что
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все действительные числа для которых существуют три различных действительных числа таких что
Источники:
Подсказка 1
Тройное равенство вида a = f = g = h это на самом деле система a = f, f = g, g = h
Подсказка 2
У нас слишком много переменных. Давайте х, z выразим через a и y. Используем, что x = a - 1/y и z = a - 1/x.
Подсказка 3
А после этого вспоминаем, что a = y + 1/z. Подставляем сюда наше выражение на z - мы получили соотношение на a и y только. Попробуйте для удобства разложить его на множители.
Подсказка 4
Один из случаев невозможен в силу различности x,y,z. В другом случае должно получиться а=±1. Теперь осталось проверить различность решений при этих параметрах. Используйте выражения из предыдущих наработок (просто подставьте туда а=1, а=-1), и всё получится!
Первое решение.
Из условия получаем
Аналогично (в силу цикличности равенств)
После перемножения полученных трёх равенств имеем
С учётом того, что числа различные, получаем после сокращения на
Из условия получаем
Аналогично (в силу цикличности равенств)
После перемножения полученных трёх равенств имеем
Этому равенству не могут удовлетворять значения , отличные от поэтому других решений у задачи быть не может. Осталось проверить, подходят ли
При существует удовлетворяющая условиям задачи тройка , а при можно взять Поэтому оба найденных значения параметра идут в ответ.
Второе решение.
Сначала постараемся избавиться от трёх неизвестных в одном выражении:
Наконец:
Получаем:
Тогда либо либо Последнее невозможно, ведь по условию и получаем — противоречие с условием.
Осталось проверить .
Зафиксируем , тогда из ранее полученного
Все три условия выполнены и можно предъявить конкретную тройку , но нами получен общий вид в зависимости от при учёте
Осталось проверить, что в тройке нет совпадающих чисел различность.
Допустим, что Тогда
То есть такого быть не может. Остальные два равенства и проверяются (что они невозможны) аналогично.
{ ; }
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите величину выражения если известно, что и сумма первых двух слагаемых выражения равна третьему.
Источники:
Подсказка 1
Запишите условие задачи о сумме первых двух дробей и попробуйте привести его к общему знаменателю, перемножить по правилу пропорции и преобразовать! Наша цель - разложить на множители левую и правую часть так, чтобы в множителях было (х-у) (ведь на него мы спокойно можем сокрущать)
Подсказка 2
После перемножения по правила пропорции и сокращения подобных мы получим 2xy +y³x+ x³y =x²+ y² + 2x²y². Тогда перенесем 2xy вправо, а 2x²y² влево и разложим на множители обе части!
Сначала напишем равенство суммы первых двух слагаемых третьему, и преобразуем его.
Так как по условию , то на можно сократить. Получаем .
Подставив в самую верхнюю строчку вычислений, получим, что сумма первых двух дробей равна , и третья дробь тоже равна . Значит, сумма трёх дробей равна .