Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На отрезке , как на диаметре, построен полукруг, в котором точка середина дуги . На дуге выбрана произвольная точка , отличная от и , через обозначена точка пересечения прямых и . Пусть — точка пересечения прямой и перпендикуляра к прямой , проведённого через точку . Докажите, что длины отрезков и равны.
Подсказка 1
Первое, что бросается в глаза — большое количество прямых углов на картинке. Прямой ВРТ говорит о том, что для решения задачи достаточно доказать, что угол ТВР, например, равен 45 градусам. Что ещё, связанное со вписанностью и прямыми углами, можно указать на картинке?
Подсказка 2
Хочется показать, что на картинке имеется вписанный четырехугольник, используя один из признаков такого четырехугольника. Также осталось вспомнить, что точка М — середина дуги АВ окружности, это тоже важно для некоторых углов!
Для начала заметим, что так как — диаметр полуокружности. По условию прямая — перпендикуляр к , то есть Тогда в четырехугольнике внутренний угол равен внешнему углу при противоположной вершине. Значит, четырёхугольник вписанный.
Так как — середина полуокружности, а опирающийся на эту дугу вписанный угол
как вертикальные углы, а потому что — вписанный четырехугольник.
Тогда то есть прямоугольный треугольник имеет угол в Значит, — равнобедренный и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найти все пары натуральных чисел и таких, что их наименьшее общее кратное равно
Источники:
Подсказка 1
Из условия следует, что 1+3y делится на x, а 1+2x делится на y. Кажется, что это может дать нам неплохие оценки на x и y...
Подсказка 2
Пускай для начала 1<x≤y. Из делимости 1+3y на x следует, что 1+2x=ky. Если k>2, то x>y. Тогда k=1 или k=2. Какой из случаев не реализуется?
Подсказка 3
При k=2, 1+2x должно делится на 2, что неверно. Тогда 1+2x=y ⇒ 4+6x делится на x. Следовательно, x надо искать среди делителей 4. Пускай теперь x>y>1. Что мы можем сказать про k, где 1+3y=kx?
Подсказка 4
Верно, k<4! При этом k не может равняться 3. Если k=2, то 1+3y=2x ⇒ y=2t+1, x=3t+2. При этом 1+2x=6t+5 должно делится на 2t+1. Посмотрите на НОД(6t+5, 2t+1) и разберитесь со случаем k=1!
Пусть сначала Заметим, что не может делиться на иначе наименьшее общее кратное и равно а это меньше В частности,
Далее, наименьшее общее кратное и делится на и поэтому делится на и а значит делится на и делится на Из делимости на следует что вместе с предположением влечёт Тогда из делимости на и следуют делимость 4 на и возможности Проверка показывает, что решением в этом случае является
Теперь рассмотрим случай из делимости на следует или Если то делится на тогда делится на и является решением задачи.
Если то нечётно, Тогда должно делиться на значит делится на что невозможно.
или
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пункт а), подсказка 1
Если мы разбиваем прямоугольник на 25 маленьких, тогда что можно сказать про площадь самого большого из них?
Пункт а), подсказка 2
Верно, она должна быть не меньше 1/25. В таком случае, можно оценить его периметр по неравенству о средних!
Пункт а), подсказка 3
Да, по неравенству о средних его периметр будет не меньше 0.8, нужно только показать, что это значение достигается. Для оценки максимума попробуйте написать оценки на прямоугольник площадь которого не больше 1/25.
Пункт а), подсказка 4
Да, площадь какого-то прямоугольника(причем он обязательно существует) не больше 1/25. Можно обозначить его стороны за a и b, причем каждое из них не больше единицы! В таком случае, будет верно, что a*(p/2-1) ≤ 1/25. Осталось исследовать эту функцию(где она принимает минимальные значения) и привести пример!
Пункт б), подсказка 1
Попробуем перейти от исходного квадрата к другому квадрату поменьше, который мы можем замостить одинаковыми прямоугольниками! Что для этого можно сделать?
Пункт б), подсказка 2
Да, можно вырезать «рамку» из исходного прямоугольника с помощью четырех прямоугольников размером x*(1-x). Тогда, в центре останется квадрат размером (1-2x)*(1-2x). Что можно попробовать сделать с этим квадратом?
Пункт б), подсказка 3
Да, этот квадрат можно попробовать разрезать на 26 равных, площадь каждого из которых будет: (1-2x)*(1-2x)/26. А дальше вспоминаем, что периметр такого прямоугольника должен быть равен 2!
(a) Один из прямоугольников разбиения должен иметь площадь не меньше, чем , обозначим его стороны за и . По неравенству о среднем арифметическом и средним геометрическом имеем
Значение достигается для разбиения квадрата на одинаковых квадратиков со стороной
По принципу Дирихле в любом разбиении единичного квадрата на прямоугольников найдётся прямоугольник (обозначим его стороны за и ) площади не больше При этом Следовательно, для Функция является квадратичной с отрицательным старшим коэффициентом, поэтому её минимум на отрезке принимается в одном из концов этого отрезка. Соответствующие значения на концах равны Следовательно,
Разбиение квадрата на равных прямоугольников со сторонами и даёт пример
(b) Приведем алгоритм разбиения квадрата на 30 прямоугольников периметра 2. Понятно, что нужно каким-то образом уменьшить разрезаемый квадрат, потому что его стороны слишком большие.
Попробуем отрезать от исходного квадрата "рамку"из четырех прямоугольников. Для этого выберем некоторое число Теперь отрежем от исходного квадрата четыре прямоугольника размером так, чтобы в центре остался квадрат размером
Разобьем теперь центральный квадрат на 26 равных прямоугольников размером
Их периметр равен 2, поэтому получаем уравнение
Таким образом, В итоге получаем следующее разбиение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — центр вписанной в треугольник окружности. Внутри треугольника выбрана такая точка , что . Докажите, что , причём равенство выполняется тогда и только тогда, когда точка совпадает с точкой .
Источники:
Подсказка 1
Сразу бросается в глаза неприятное равенство на сумму углов. Заметим, что было бы хорошо, если бы угол PBC складывался с PBA и PCA c PCB. Как мы можем этого добиться? Конечно, сложить левую часть равенства с правой, а затем повыражать неизвестные нам углы через углы треугольника ABC!
Подсказка 2
Мы получаем, что углы BPC и PIC = 90 + (угол A) / 2. Вспомним лемму о трезубце! Точки B,P,C,I будут лежать на одной окружности. Иначе, P будет лежать на описанной окружности треугольника BCI. Но где же находится центр этой окружности?
Подсказка 3
Конечно, вновь используя лемму о трезубце, мы понимаем что центр M окружности BCI лежит на середине дуги BC. Более того, M лежит на описанной окружности треугольника ABC. Это в точности значит, что M лежит на биссектрисе угла BAC. Помним, что нам необходимо доказать неравенство на отрезки. Обычно в таких ситуациях необходимо применить неравенство треугольника! Для какого треугольника неравенство будет наиболее подходящим?
Подсказка 4
Конечно для треугольника APM, ведь AM = AI + IM и IM = IP(как радиусы)
Пусть
Поскольку условие задачи эквивалентно , т.е. .
С другой стороны, . Следовательно, , и т.к. точки и лежат по одну сторону от , точки и лежат на одной окружности. Иными словами, лежит на — описанной окружности
Пусть — описанная окружность
Легко проверить, что центр окружности совпадает с точкой — серединой дуги и лежит на , а значит — и на биссектрисе угла
Из неравенства треугольника (для ) следует
Поэтому . Равенство достигается тогда и только тогда, когда принадлежит , что означает
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В семье человека. Если Маше удвоят стипендию, общий доход всей семьи возрастет на если вместо этого маме удвоят зарплату — на если же зарплату удвоят папе — на На сколько процентов возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?
Источники:
Подсказка 1
Подумаем, откуда же взялись 5%, на которые увеличился доход семьи?) Что в его составе?
Подсказка 2
После того, как к общему доходу добавили 1 зарплату Маши, общий доход увеличился на 5%) Значит, заплата Маши это...?)
Подсказка 3
5% от общего дохода! Аналогично с мамой и папой, тогда несложно посчитать пенсию дедушки)
При удвоении стипендии Маши общий доход всей семьи увеличивается ровно на величину этой стипендии, значит, она составляет от общего дохода. Аналогично, зарплаты мамы и папы составляют и Значит, пенсия дедушки составляет процентов. Если её удвоят, то доход семьи возрастёт на