Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для целых чисел , , известно, что . Найдите наименьшую возможную сумму .
Подсказка 1
Давайте подумаем. У нас есть сумма произведений каких-то констант на х, y, z. При этом, нам надо максимизировать x^2 + y^2 + z^2. Какое неравенство нам это напоминает? Что первым приходит в голову здесь?
Подсказка 2
Конечно же, неравенство КБШ! Тогда, по этому неравенству у нас выходит, что ((ln16)^2 + (ln8)^2 + (ln24)^2)(x^2 + y^2 + z^2) >= (ln6)^2. Тогда, выходит, что мы получили оценку на минимум нашей суммы. Достигается ли в КБШ равенство, если да, то когда?
Так то из последнего уравнения вида получаем , то есть следующую систему:
Поскольку то С учётом равенств запишем
Чтобы найти минимум, найдем координаты вершины параболы ветви которой направлены вверх, значит минимум достигается в вершине.
Так как парабола симметрична относительно вершины, то минимальное целое значение будет достигаться при Тогда искомое значение равняется
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Некоторые числа и удовлетворяют равенствам
Найдите все возможные значения произведения
Источники:
Подсказка 1
Сразу видно, что логарифмы связаны между собой, что можно сделать для дальнейшего удобства?
Подсказка 2
Сделать замены! Введем 2 переменные (для каждого из равенств) и запишем условие с учётом замены. Получится 2 уравнения 4 степени, от которых можно равносильно перейти к уравнениям 5ой степени. Корни совсем неочевидны, да и, казалось, нам необязательно искать их точно - достаточно найти какую-то связь между переменными, чтобы ответить на вопрос задачи) Что нам помогает при исследовании корней уравнения больших степеней?
Подсказка 3
Производная! С помощью неё можно, к примеру, что-то узнать про количество корней уравнения. Помним, что уравнение нечетной степени имеет не менее одного корня. Что тогда можно сказать про корни уравнений?
Подсказка 4
Производные положительны, уравнение нечетной степени, значит уравнения имеют ровно по одному корню! Замечаем связь между коэффициентами уравнений. Что тогда можно сказать про корни?
Подсказка 5
Корни противоположны! Остаётся лишь сделать обратную замену, из которой xy находится несложно!
Обозначим , Так как
то исходные уравнения можно записать в виде
|
Рассмотрим первое уравнение системы. Возьмём производную от левой части, получим
Т.е. в левой части стоит возрастающая функция, а в правой части число, поэтому уравнение имеет не более одного решения. С другой стороны, любой многочлен нечётной степени имеет по крайней мере один действительный корень. Отсюда следует, что уравнение имеет ровно одно решение.
Аналогично рассмотрим второе уравнение:
Значит, аналогично с первым уравнением, второе уравнение имеет ровно одно решение. Если во втором уравнении сделать замену то оно принимает вид
Это эквивалентно первому уравнению. Это означает, что корни уравнений противоположны, следовательно, их сумма равна нулю. Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Подсказка 1
Логарифмы в обеих частях, с разными основаниями, x содержится и в аргументе, и в основании обоих логарифмов... Давайте "причешем" наше выражение. Для начала разберёмся с основаниями - попробуем вынести оттуда x и привести логарифмы к одному основанию
Подсказка 2
Перейдём, например, к основанию 3 (используя формулу о делении логарифмов с одним основанием), так как оба основания кратны трём. Кажется, всё ещё ничего не видно. Тогда продолжим причёсывать - теперь, когда у всех логарифмов общие основания, попробуем оставить всем логарифмам одинаковый аргумент.
Подсказка 3
Да, можем вынести степени и коэффициенты из аргумента логарифма, оставив везде только х, после чего заменить log₃ x на t - и получим неравенство без логарифмов, которые мы решать уже умеем!
Переходя в обоих логарифмах к основанию 3, имеем:
Обозначаем и получаем:
откуда
Возвращаясь к переменной , окончательно получаем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны числа . При каких два из этих чисел равны, а третье меньше их на ?
Источники:
Из условия следует, что функции положительны и не принимают значения при всех из области допустимых значений. Пусть . Тогда
По условию числа удовлетворяют одному из трёх условий:
Рассмотрим случай . Подставляя и в полученное выше уравнение , имеем , откуда . Так как многочлен не имеет корней, то единственным решением уравнения является , поэтому системе удовлетворяет тройка чисел . Случаи и рассматриваются аналогично с точностью до смены обозначений (выражение симметрично). Из них получаем, что либо , либо . Теперь для каждой из полученных троек чисел найдём .
Если , то , то есть . Поэтому , то есть значений , при которых , не существует.
Если , то . Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получаем уравнение , которое не имеет корней, поэтому случай также не подходит.
Если , то . Это уравнение эквивалентно уравнению , корнями которого являются и , но не подходит, так как в этом случае . Значение подходит: .
Итак, — единственное решение задачи.
при решении перемножением логарифмов: показано, что произведение всех логарифмов равно целому числу – 1 балл;
получено и решено кубическое уравнение относительно одного из логарифмов – 1 балл;
за рассмотрение каждого из случаев – по 1 баллу;
если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.
при решении рассмотрением трёх случаев равенств логарифмов: разобран 1 случай – 1 балл,
разобраны 2 случая – 3 балла,
разобраны 3 случая – 5 баллов;
если при этом в случае приобретены лишние корни, он не считается рассмотренным, и за него ставится 0 баллов.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
ОДЗ: .
Заметим, что
Значит, неравенство можно переписать в виде . (Отметим, что при этом изменилась область допустимых значений: исчезло ограничение , которое необходимо будет учесть в дальнейшем.) Обозначим . Тогда получаем , или, раскладывая левую часть на множители, .
Возвращаясь к переменной , находим, что
Осталось учесть потерянное условие из ОДЗ, поэтому окончательный результат таков: .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Источники:
ОДЗ: .
Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:
Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:
Записываем второе уравнение в виде и решаем его как квадратное относительно переменной :
Теперь рассмотрим комбинации полученных результатов:
a)
Точка не удовлетворяет ОДЗ.
б)
в)
г)
Точка не удовлетворяет ОДЗ.
Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Пусть . Тогда неравенство принимает вид Далее его можно преобразовать так:
Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности на области допустимых значений совпадает со знаком выражения в частности (при ), знак логарифма совпадает со знаком выражения . Тогда из последнего неравенства получаем
ОДЗ исходного неравенства задаётся условиями При этом последние два ограничения выполнены автоматически для любого решения, так как при или знаменатель дроби обращается в ноль. Помимо этого и положительны при всех значениях Следовательно, единственное ограничение из ОДЗ, которое необходимо учесть, - это неравенство откуда Решаем неравенство:
С учётом ОДЗ окончательно получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
ОДЗ логарифмов неравенства определяется условиями
В итоге получаем и .
Обозначим . Записываем и преобразуем неравенство:
Для решения этого неравенства далее применяем метод рационализации: знак разности на области допустимых значений совпадает со знаком выражения ; в частности (при , знак логарифма совпадает со знаком выражения . Тогда из последнего неравенства получаем . Подставляем сюда выражения для и решаем получаюшееся неравенство:
С учётом ОДЗ остаётся
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения , при каждом из которых одно из трёх данных чисел , и равно произведению двух остальных.
Источники:
Подсказка 1
Сразу можно заметить некоторую схожесть логарифмов (однако сначала нужно записать кое-что важное!), точно неспроста так подобрали аргументы и основания! Что тогда можем сделать, чтобы это использовать? Какое свойство логарифмов нам поможет?
Подсказка 2
Вспоминается свойство log_a(b) ⋅ log_b(c) = log_a(c).. Очень удачным оказывается перемножить сразу все логарифмы, чтобы получилось 1! Какой логарифм равен произведению других мы не знаем, а тогда можем его обозначить переменной. Чему она должна быть равна?
Подсказка 3
Получаем, что какой-то логарифм равен ±1, остаётся только перебрать варианты! И можно ещё кое-что заметить: а может ли какой-то логарифм равняться 1?
Подсказка 4
Верно, не может) Осталось решить 3 простых уравнения и отобрать корни на ОДЗ!
Найдем ОДЗ: и
Заметим, что на ОДЗ по формуле перехода к новому основанию верно тождество
Пусть — число, которое равно произведению двух других, и — оставшиеся. Тогда и Отсюда получаем, что
Заметим также, что если какой-то логарифм равен то и произведение двух других равно
То есть мы поняли, что условие задачи выполняется тогда и только тогда, когда один из логарифмов равен (Единице никакой логарифм из трех данных равняться не может, так как у всех них различны аргумент и основание).
Получили следующую совокупность:
Откуда понимаем, что нам подходят (с учетом ОДЗ) только и
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Сразу стоит записать ОДЗ. Неравенство состоит из очень разнообразных слагаемых, так что хочется привести их к похожему виду. Как можно преобразовать степень 64? Слева же хочется преобразовать логарифм по основанию 162, т.к. такое число у нас больше нигде не встречается.
Подсказка 2
Пусть у нас справа будет замена t = x в степени log₄x. Перепишите тогда правую часть выражения!
Подсказка 3
Посмотрим на логарифмы, слева у нас даже нет х. То есть, там записано некоторое число! Давайте попробуем привести их к хорошему виду и посчитать! Для этого стоит попробовать выразить все логарифмы через log₃2
ОДЗ: .
Поскольку , то сделаем замену . По свойствам логарифмов , поэтому левая часть принимает вид
Таким образом, получаем неравенство
Подбором находим корень , откуда
Заметим, что при вторая скобка всегда положительна, потому решениями будут . Подставим
В итоге
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1!
1) Заметим, что у нас в основании логарифма те же скобки! Давайте сделаем замену для удобства. Пусть а = x²-2, b = 2x-3. Перепишите полученное неравенство!
Подсказка 2!
2) В этой задаче очень важно учесть ОДЗ, оно довольно громоздкое.. Не забудьте про неравенство a и b!
Подсказка 3!
3) А теперь вернемся к нашему неравенству. Попробуйте доказать, что а больше b на нашем ОДЗ, а затем подставить в логарифм b вместо a! Подумайте, почему так можно, а затем аккуратно разберитесь с остатками задачи!
Сделаем замену . ОДЗ: . При этом (на ОДЗ), то есть . Неравенство принимает вид
Рассмотрим случаи с учётом
-
. Здесь , то есть неравенство принимает вид
То есть и . Также .
- . Этот случай невозможен из ОДЗ.
-
. Здесь , тогда
Тогда и . Условие выполнено автоматически.
Заметим, что мы не проверили условие . Проверим
В итоге .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1
Вы тоже заметили, что повторяется х в четной степени, а также тройка фигурирует в основании? Значит, можете сделать интересную замену t = log_3(x²). Перед этим нужно будет предварительно вынести четные степени из аргументов всех логарифмов.
Подсказка 2
Полученное неравенство решается методом интервалов, после чего мы находим значения для x². А потом вспомним, что если x² = a (какому-то неотрицательному), то х может принимать значения а и -а.
Пусть тогда по свойствам логарифмов неравенство примет вид
Откуда по методу интервалов
При обратной замене получаем
откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
Посмотрим на то как выглядит наше уравнение. Хмм… Мы видим, что , по сути, здесь есть две конструкции. Собственно два этих логарифма. Слева их произведение, справа их сумма. А что можно сделать, если мы знаем что сумма двух чисел равна их произведению?
Подсказка 2
Конечно, можно заменить и разложить. ab=a+b => (a-1)(b-1)=1. А как можно сократить единицу, если мы знаем чему равно а и b(логарифмам)? А что это даст?
Подсказка 3
Видим, что log_(7x-6)(7x^2+x-6)=1+log_(7x-6)(x+1). Аналогично со вторым. На выходе получаем уравнение (log_(7x-6)(x+1))*(log_(x+1)(x^2-x+1))=1. Хмм… х+1 много где встречается… Ах, есть же свойство!
Подсказка 4
Свойство о смене оснований в произведении логарифмов. Тогда наше уравнение преобразуется в вид log_(7x-6)(x^2-x+1)=1. А такое мы точно умеем решать. Остается проверить корни на соответствие ОДЗ и записать ответ.
ОДЗ: . Поскольку
то для замены уравнение примет вид
То есть
или После проверки ОДЗ получаем ответ.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение
Источники:
Подсказка 1
У нас в основании логарифмов пятерки в некоторых степенях. А это как-то можно исправить? Когда в основании логарифма показательная функция работать не так удобно, как с константой там же.
Подсказка 2
Ну конечно, можно. По свойству логарифмов. Что-то мы забыли… Ах, да! Найти ОДЗ! Ведь вынеся степень из основания оно точно будет использоваться.
Подсказка 3
Ого, какое простое ОДЗ, х>0. А значит можно домножить на х и не потерять корней. Теперь у нас остается что сумма наших логарифмов равна 2. Но они по одному основанию! Значит их можно преобразовать в один и приравнять к логарифму по основанию 5, равному двойке.
Подсказка 4
В итоге получаем кубическое уравнение, которое остается решить (к примеру угадать один из корней) и не забыть учесть ОДЗ.
ОДЗ:
Вынесем из оснований и аргументов логарифмов показатели степеней, получим
Что эквивалентно равенству
Получается , но только входит в ОДЗ исходного уравнения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
Источники:
Подсказка 1!
1) Так, у нас опять задача с жутким ОДЗ, не забываем его выписать! А затем, как было бы удобно, если бы мы могли привести все логарифмы к одному основанию!
Подсказка 2!
2) Да, приведите все логарифмы к основанию 4! В таком случае нам останется сравнить два логарифма, для этого перейдем к сравнению их содержимого, а дальше осталось только разобраться, когда неравенство для х выполнено!
ОДЗ:
В иоге .
Приведём все логарифмы к основанию за счёт свойств логарифмов:
В итоге .
На олимпиаде задача оценивалась в 5 баллов. Баллы суммируются:
Найдено ОДЗ – 1 балл;
Неравенство сведено к квадратному – 2 балла;
Решено полученное квадратное неравенство – 1 балл;
Полученные решения пересечены с ОДЗ – 1 балл;
Важно: неравносильное преобразование неравенства – 0 баллов за всю задачу.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите неравенство
ОДЗ: Преобразуем к виду
При имеем т. e. Следовательно, либо либо и Тогда при получаем т. е. Следовательно, а учитывая ОДЗ получаем — решения. При имеем т. е. Учитывая ОДЗ получаем — решения.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите систему уравнений
Имеем
при условиях и Получаем и Следовательно, т. е. Тогда либо и в этом случае т. е. это не решение, либо а и в этом случае и т. е. это решение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
Преобразуем уравнение к виду
Пусть Тогда Следовательно, и Получаем причем не является решением, так как и не определен, а решение.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решить уравнение
Источники:
Подсказка 1
Что нужно записать первым делом? А потом подумайте: не видите ли вы чего-то похожего в аргументах и основаниях логарифмов? Что тогда можно сделать?
Подсказка 2
Первым делом, конечно, пишем ОДЗ! А ещё, если сложить логарифмы слева, аргумент будет почти такой же, как основание логарифма справа) Тогда можно это и сделать, а потом при помощи небольших преобразований получить уравнение с одним логарифмом
Подсказка 3
И этот логарифм можно заменить на t, а потом решить получающееся квадратное уравнение, не забыв проверить корни на соответствие ОДЗ
Найдём ОДЗ:
Преобразуем левую часть уравнения:
Теперь воспользуемся тем, что и сделаем замену , тогда наше уравнение примет вид:
Домножим на и получим квадратное уравнение: корни которого будут равны
При нужно решить уравнение . Пропотенциируем и получим . Корни этого уравнения и . не будет входить в ОДЗ, поэтому оставляем лишь
При нужно решить уравнение . Так же потенциируем и получаем . Корни этого уравнения и . нам не подходит, так как этот корень не попадает в ОДЗ.