Задача №33589: Логарифмы на Физтехе — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Физтех

Логарифмы на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#33589

Решите систему уравнений

({ (y5)lgx 2lgxy x =y ( x2− 2xy− 4x− 3y2+ 12y = 0

Источники: Физтех-2020, 11.3, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x,y >0$ .

Логарифмируем первое уравнение системы по основанию 10:

(y5) 2 lg -x ⋅lgx= lgy ⋅lg(xy)

Это уравнение на области допустимых значений равносильно следующему:

(5lgy− lgx)lgx =2 lgy(lgx+ lgy) ⇐ ⇒ lg2 x− 3 lgylgx+ 2lg2y = 0 ⇐⇒

[ (lgx − lgy)(lgx − 2lgy)= 0 ⇐⇒ (x− y)(x− y2)= 0 ⇐⇒ x= y, x= y2

Записываем второе уравнение в виде $2 2 x − 2x(y+2)+ 12y− 3y = 0$ и решаем его как квадратное относительно переменной $x$ :

D ( ) 4-= (y+2)2− 12y− 3y2 = 4y2− 8y +4= (2y− 2)2 =⇒ x = y+2 ±(2y− 2) ⇐⇒ x= 3y,4 − y

Теперь рассмотрим $4$ комбинации полученных результатов:
a)

{ { x =y, ⇐ ⇒ x = 0, x =3y y =0.

Точка $(0;0)$ не удовлетворяет ОДЗ.
б)

{ { x = y ⇐ ⇒ x = 2 x = 4− y y =2

в)

⌊ { { 2 || x= 0, x =y , ⇐⇒ || { y = 0, x =3y ⌈ x= 9, y = 3.

г)

⌊ { x= 9−√17, { 2 { { x= 4− y, || −12+√17- x= y , ⇐⇒ x2=4− y, ⇐⇒ −1±√17 ⇐ ⇒ || { y = 9+2√17-, x= 4− y y + y− 4= 0 y = 2 ⌈ x= −12−√,17- y = 2 .

Точка $(9+√17;−1−-√17) 2 2$ не удовлетворяет ОДЗ.

Объединяя результаты, получаем итоговый ответ: $( 9−√17 √17−1) (2;2),(9;3), -2--;--2--$ .

Ответ:

$(2;2),(9;3),(9−√17;√17−1) 2 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse