Тема 18. Задачи с параметром
18.19 Функции. Метод оценки
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31908

Найдите все значения параметра a  , при каждом из которых система

(| 2
||{y√ + a= 4cosx
||  y+ z2 =a
|((a− 2)2 = |z2 − 2z|+|sin2x|+4

имеет хотя бы одно решение и укажите решения системы для каждого найденного a  .

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде:

(|           2
||{a =4√cosx− y
||a =  y+ z2
|((a− 2)2 = |z2 − 2z|+|sin2x|+4

Так как − 1≤ cosx ≤1  и y2 ≥ 0  , то из первого равенства следует, что a≤ 4  . Так как √y ≥0  и z2 ≥ 0  , то из второго равенства следует, что a≥ 0  . Значит, (a − 2)2 ≤4  . Но правая часть третьего равенства |z2− 2z|+ |sin2x|+ 4≥ 4  , следовательно, по методу оценки третье равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 4  :

                            (                   (
(           2               ||| a= 4cosx − y2      ||| a= 4cosx − y2
||||| a= 4cosx− y                ||||| a= √y+ z2         ||||| a= √y+ z2
|{ a= √y+ z2                 |{                   |{
||| (a − 2)2 = 4            ⇔  ||| a= 0;4          ⇔  ||| a= 0;4
|||( |z2− 2z|+ |sin2x|+ 4= 4       ||||| z = 0;2            ||||| z = 0;2
                            |( sin2x= 0           |( x= π2n,n∈ ℤ
1.
При a= 0  имеем
(
||||x = π2n,n ∈ℤ           (
|||||y2 = 4cosπn          |||x= π n,n ∈ℤ        (
|||{⌊ ({     2            |||{    2             |||{x = π2 + πn,n ∈ℤ
||| (z√ = 0         ⇔   |y = 0         ⇔   |y =0
||||||| ( y =0             |||||z = 0             ||(z =0
|||||||⌈ {z = 2             (4cosπ2n= 0
|(  (√y +4= 0
2.
При a= 4  имеем
(
|||| x= π2n,n∈ ℤ          (
||||| y2 +4= 4cosπ2n        |||x = π2n,n ∈ℤ        (
|||{ ⌊({z =0              |||{y =0              |||{x = 2πn,n∈ ℤ
| ||(√ -           ⇔   |              ⇔   |y = 0
||||| |||(  y = 4           |||||z =2              ||(z =2
||||| |⌈{z =2              (cosπ2n =1
|(  (√y-+4 =4
Ответ:

 a ∈{0} и (π+ πn;0;0)
 2 , n∈ ℤ

a∈{4} и (2πn;0;2)  , n ∈ℤ

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!