Рассмотрим левую часть как функцию и правую часть как функцию . Так как эти функции зависят от разных аргументов, то значения, которые могут принимать эти функции, не зависят друг от друга. Тогда неравенство будет иметь единственно решение, если мы придадим параметру такое значение, что , причем — единственная пара. Исследуем эти функции.

• Пусть , тогда и . Производная

  

  Тогда — точка максимума, следовательно, .

• Так как , то

  

  Тогда нименьшее значение будет совпадать с наибольшим значением , если , следовательно, при .

Наименьшее значение достигается при , принадлежащем отрезку, заключенному между точками и , которые при совпадают, следовательно, значение единственно. Заметим, что значение также единственно, так как