Тема 18. Задачи с параметром
18.19 Функции. Метод оценки
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела задачи с параметром
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31656

Найдите все такие пары чисел a  и b  , при каждой из которых уравнение

  2   2    2    2       2     2          2
(3x − 2a +ab) +(3a − ab+ 2b− 12x)+ 4= 4x− x

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

   2   2    2    2       2     2        2
(3x − 2a + ab) + (3a − ab+2b − 12x) = −(x− 2)

Левая часть уравнения представляет собой сумму двух квадратов, следовательно, сумму двух неотрицательных величин, следовательно, неотрицательную величину: (3x2− 2a2+ ab)2+ (3a2 − ab+ 2b2− 12x)2 ≥ 0  . Правая часть неположительна: − (x− 2)2 ≤0  . Следовательно, по методу оценки равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны 0  :

(                                          (|  2    2
{(3x2− 2a2+ ab)2+ (3a2− ab+2b2− 12x)2 = 0     ||{ 3x − 2a +ab= 0
(−(x− 2)2 =0                            ⇔   || 3a2− ab+ 2b2− 12x =0    ⇒
                                           |( x= 2
(
{12− 2a2 +ab= 0
(3a2− ab+2b2− 24 =0   (сложим удворенное первое равенство со вторым) ⇔

({  2      2      2          (|{  (b)2  b
 2b +ab− a = 0 |:a ⁄= 0   ⇔    2 a  + a − 1= 0   ⇔
(12− 2a2 +ab= 0              |( 12 − 2a2+ ab=0
                                           ⌊(
(                    ( ⌊                    { a= −b
|{-b= −1;1            |||{ ⌈a= −b              |||( b= ±2
|a      2         ⇔  |  a= 2b          ⇔   ||({
(12− 2a2 +ab= 0       ||( 12− 2a2+ ab= 0      |⌈  a= 2b√-
                                            ( b= ± 2

Получаем следующие пары для a  и b  :              √- √-    √-  √ -
(2;−2);(−2;2);(2 2; 2);(−2 2;−  2).

Ответ:

 (a;b)∈ {(2;−2);(−2;2);(2√2;√2);(− 2√2;− √2)}

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!