Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Коническое (пожарное) ведро было заполнено водой до самого края.
В него положили шар, причем он полностью покрылся водой. Покажите, что при этом из ведра вылилось не более половины бывшей там воды.
Источники:
Подсказка 1
Если мы хотим доказать, что что-то меньше чего-то, то нам надо взять это что-то максимальным, а после этого доказать, что даже в этом случае выполняется требуемое. Шар у нас лежит не выше уровня воды, при этом, он касается поверхности конуса. В какой ситуации тогда радиус шара будет максимальным(ну а значит и его объем)?
Подсказка 2
Предельное положение - это когда шар вписан в конус. А значит, окружность радиуса такого же как у шара вписана в сечение конуса, которое проходит через диаметр окружности в основании и вершину. Значит, мы можем взять за r - радиус шара, за h - высоту конуса и за R - радиус окружности в основании конуса и тогда картинка однозначно фиксируется и все через все выражается. Сделайте это и поймите связь между r и парой h и R. Чему тогда равно отношение объемов(ведь этого от нас и просят)?
Подсказка 3
Отношение объемов равно, в силу того, что (h - r)/r = sqrt(h^2 + R^2)/r, 4 * (h / r) * (1 - 2 * (h/r)). Мы хотим максимизировать объем, значит, надо взять максимум у этой параболы(у нас же относительно h/r - выражение представляется графически параболой), а она не больше 1/2.
Обозначим радиус шара через радиус основания конуса через а высоту конуса — через Тогда объём конуса равен
Объём шара
Отношение этих объемов равно
Можно считать, что верхняя точка шара находится на поверхности воды, иначе воды выльется ещё меньше.
Из подобия прямоугольных треугольников и имеем
Возведем равенство в квадрат, получим
Значит, отношение объёмов равно
где Максимум этой функции достигается в вершине параболы, то есть при и составляет
Заметим, что максимум достигается при при этом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде даны ребро и . Диагональ пирамиды служит осью конуса, вершина которого находится в , а окружность основания касается трех граней угла , причем грани в ее центре. Найдите радиус основания конуса.
Пусть точка — центр , а — центр окружности основания конуса. . Продлим стороны до пересечения в точке . Введём прямоугольную декартовую систему координат, как на рисунке: — начало координат, ось направим вдоль , вдоль , вдоль .
Сделаем гомотетию с центром в точке так, чтобы центр окружности перешёл в точку . Сама же точка
Найдём уравнение плоскости , содержащую окружность конуса с центром в точке . Так как — служит осью конуса, то в качестве вектора нормали возьмём .
Так как , то
Найдём уравнение плоскости :
|
Возьмём в качестве , тогда получим
Найдём уравнение прямой :
|
Сложив первое уравнение, умноженное на , со вторым и, выразив , получим . Откуда можно подставить в первое уравнение и выразить . Тогда уравнение прямой в параметрическом виде:
|
Её направляющий вектор .
Пусть — точка касания окружности с плоскостью , тогда лежит на прямой , , :
Тогда
Уравнение плоскости :
Найдём уравнение прямой :
|
Подставляя во второе уравнение и выражая x, получим параметрическое уравнение прямой :
|
Её направляющий вектор .
Пусть — точка касания окружности с плоскостью , тогда лежит на прямой , ,
В силу симметрии картинки относительно плоскости , если окружность касается плоскости , то она будет касаться и плоскости , поэтому для касания всех трёх плоскостей, содержащих граней необходимо и достаточно выполнения уравнения:
|
Тогда
Рассмотрим
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В 2022 году исполняется 65 лет запуска первого искусственного спутника Земли (ИСЗ). В настоящее время для обеспечения бесперебойной работы сотовой связи, систем теле и радиовещания используются различные виды спутников, находящихся на различных орбитах, на различных высотах.
Зоной покрытия спутника назовем часть поверхности земного шара, в пределах которой обеспечивается уровень сигналов к спутнику и от него, необходимый для их приема с заданным качеством в конкретный момент времени. Как правило, эта часть поверхности ограничивается окружностью, проходящей по линии видимого горизонта. На рисунке линия проходит через точку Г:
a) Определите площадь земной поверхности ( ), которая является зоной покрытия спутника, находящегося на высоте км относительно земной поверхности, считая ее сферой радиуса км с центром в точке
б) Найдите все значения для которых на поверхности земли можно расположить окружности каждая из которых внешним образом касается окружности с центром в точке и радиусом каждая из них является границей зоны покрытия ИСЗ, находящегося на той же высоте , что и спутник с зоной покрытия Каждая из зон покрытия должна внешним образом касаться окружностей и т.е. первая касается и вторая — и и т.д. Окружность должна касаться и
Источники:
а) Зона покрытия — часть сферы, лежащая внутри конуса. , где — высота сегмента. , здесь угол — угол между радиусом ОГ и линией ОА, соединяющий центр сферы с центром окружности, которая является линией пересечения сферы и конуса.
Тогда площадь равна
б) Пусть О — центр сферы, В — точка касания первой и второй окружности, А и их центры этих окружностей, — точки пересечения радиусов со сферой. Обозначим — угол между ОЗ и ОВ. Тогда
В правильной пирамиде О плоские углы при вершине равны двугранный угол при ребре О3 равен Опустив перпендикуляры из точек и на ребро О3 в точку H, треугольники О и О равны (по трем сторонам), т.к. две стороны равны а третья
а)
б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Угол при вершине в осевом сечении конуса равен . Снаружи этого конуса расположены 11 шаров радиуса 3, каждый из которых касается двух соседних шаров, боковой поверхности конуса и плоскости его основания. Найдите радиус основания конуса.
Источники:
Подсказка 1
Давайте сначала рассмотрим расположение любого шара и конуса в плоскости, перпендикулярной рисунку.
Подсказка 2
У нас есть треугольник, которого касается окружность известного радиуса, вписанная во внешний угол при основании треугольника. Счёт за Вами... Напоминаем, окружность, вписанная в угол, лежит на его биссектрисе
Подсказка 3
Теперь давайте поймем как расположены все шары снаружи. Они касаются друг друга, поверхности конуса и плоскости его основания, причем все расположены на одинаковом расстоянии от центра основания конуса!
Подсказка 4
То есть точки касания шаров с плоскостью основания конуса являются вершина правильного 11-угольника со стороной, равной удвоенному радиусу шаров(так как они касаются друг друга и длина = 2 радиуса)...
Подсказка 5
Теперь нам известны расстояние от центра основания до точки касания шаров с плоскостью основания(радиус 11-угольника) и расстояние от этой точки касания до ближайшей вершины треугольника в плоскости рисунка, тогда искомый радиус основания = радиус 11-угольника - последнее расстояние
Пусть — центр окружности основания конуса, радиуса - центр одного из шаров радиуса — точка касания этого шара с плоскостью основания, — точка касания соседнего шара с плоскостью основания конуса. Значит, из треугольника можем получить
Так как каждый шар касается двух соседних, то точки касания этих шаров с плоскостью основания конуса расположены в вершинах правильного 11-угольника вписанного в окружность с центром в точке радиуса и стороной, равной Поэтому
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Рассмотрим всевозможные тетраэдры , в которых . Каждый такой тетраэдр впишем в цилиндр так, чтобы все вершины оказались на его боковой поверхности, причём ребро было параллельно оси цилиндра. Выберем тетраэдр, для которого радиус цилиндра - наименьший из полученных. Какие значения может принимать длина в таком тетраэдре?
Пусть - середина и - медианы равнобедренных треугольников и , a значит, биссектрисы и высоты. То есть . Значит, отрезок перпендикулярен плоскости , следовательно, . Таким образом, лежит в плоскости, перпендикулярной оси цилиндра (обозначим эту плоскость через ). Сечение цилиндра этой плоскостью - окружность, а является хордой этой окружности. Тогда радиус цилиндра минимален, если диаметр. Отметим, что это возможно в силу того, что отрезки и длиннее, чем . Действительно, из треугольников и следует, что .
Рассмотрим тетраэдр, в котором является диаметром цилиндра. Возможны 2 случая: точки и лежат по одну (этот случай представлен выше) или по разные стороны плоскости .
Пусть - проекция точек и на плоскость . Угол , так как он вписан в окружность и опирается на её диаметр. в силу равенства треугольников и . Тогда . По теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках и соответственно: .
Тогда, если точки и лежат по одну сторону от плоскости , то . Если точки и лежат по разные стороны от плоскости , то .
Доказано, что 𝐴𝐵 – диаметр цилиндра наименьшего радиуса – 2 балла; если при этом не проверено, что точки 𝐶 и 𝐷 могут лежать на боковой поверхности такого цилиндра (например, можно доказать, что треугольники 𝐴𝐵𝐶 и 𝐴𝐵𝐷 остроугольные; можно сделать, как в решении), то 1 балл вместо 2;
найдены оба значения 𝐶𝐷 – 3 балла;
найдено только одно значение 𝐶𝐷 – 1 балл вместо 3.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На рёбрах правильной треугольной пирамиды с вершиной выбраны точки соответственно. Известно, что точки лежат в одной плоскости, причём . В четырёхугольнике расположены две окружности и , причём окружность касается сторон и , а окружность касается сторон и Прямые круговые конусы и с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина конуса лежит на ребре , а вершина конуса лежит на ребре .
а) Найдите
б) Найдите длину отрезка .
Источники:
Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, так что он параллелограмм. Поскольку плоскость пересекает плоскости и по параллельным прямым и , эти прямые параллельны прямой пересечения этих плоскостей - то есть . Аналогично, NK . В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны друг другу, поэтому , а прямоугольник. Следовательно, радиусы окружностей и равны .
Отсюда также следует, что прямоугольник симметричен относительно плоскости , содержащей ребро и середину . Тогда и конусы и также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому - середина .
Обозначим через и середины сторон и соответственно, а через и центры окружностей и соответственно; эти четыре точки лежат на оси симметрии прямоугольника , параллельной , а значит - в плоскости . Более того, , то есть треугольники и подобны.
Пусть . Тогда . Поскольку , из подобия получаем , т.е. . Аналогично, . C другой стороны, так как конус прямой, имеем , причём . Отсюда , или , откуда . Значит, .
Итак, , и из подобия имеем
откуда и . Пусть пересекает в точке . Тогда высота треугольника , причём (поскольку ) . Значит, . Поскольку - прямоугольник, так что . Отсюда .
а) б)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На плоскости основания конуса с высотой, равной радиусу основания, дана точка (вне конуса), удалённая от окружности основания на расстояние, равное двум радиусам основания. Найдите угол между касательными плоскостями к боковой поверхности конуса, проходящими через данную точку.
Источники:
Пусть центр основания радиуса — точка , точка рядом , а — вершина конуса. Пусть также пересекает окружность в . Касательные плоскости содержат касательные из к окружности, пусть это и . Легко видеть, что и и есть искомые плоскости, проведём в этих треугольниках высоты к , которые в силу симметрии упадут в одну точку . Тогда наша задача сводится к поиску .
Итак, будем искать отрезки и . По теореме об отрезках касательной и секущей
Здесь мы просто посчитали площадь прямоугольного треугольника двумя способами. Теперь заметим, что , поскольку две прямые ей перпендикулярны, откуда , то есть , как прямоугольные с общим углом. Имеем
В итоге .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В конус вписан цилиндр объема 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усеченный конус объемом 63. Найдите объем исходного конуса.
Источники:
Подсказка 1
Запишем известные нам объёмы! В работе с усечённым конусом нам поможет формула, выражающая его объём через высоту и радиусы оснований. А чего нам не хватает для объёма искомого конуса?
Подсказка 2
Нам не хватает его высоты — она пока не фигурирует ни в одной из известных фигур. Зато у нас в обоих данных объёмах задействована высота усечённого конуса, которая дальше нам не очень нужна. Так выразим её из объёма цилиндра и подставим в объём усечённого конуса! Поработав с квадратным уравнением, мы отыщем отношение радиусов верхнего и нижнего оснований.
Подсказка 3
Отыскать высоту исходного конуса нам помогут подобные треугольники: рассмотрите осевое сечение этого конуса. Отношение радиусов поможет нам связать высоты исходного и усечённого конусов. Осталось немного повозиться с формулами, подставляя известные отношения, и задача убита!
Пусть высота и радиус исходного конуса равны и , а высота и радиус цилиндра равны и . Воспользуемся формулой для объема усеченного конуса: . Также мы знаем, что . Поделив соответствующие части равенств получаем
Решая квадратное уравнение, получаем корни и геометрический смысл имеет только положительный. , откуда получаем для исходного конуса:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильную треугольную призму вписан шар радиуса . Найдите площадь боковой поверхности вписанного в шар прямого кругового цилиндра, основание которого лежит в плоскости, проходящей через точку и середины рёбер и
Источники:
Обозначим через радиус шара, а через и — середины рёбер и соответственно. Плоскость есть центральное сечение шара. Пусть — высота цилиндра, тогда радиус его основания равен . Пусть — точка пересечения отрезков и . Справедливы соотношения , где центр шара. Если — проекция точки на основание цилиндра, то из подобия прямоугольных треугольников и получаем
Тогда Значит, . Площадь боковой поверхности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два равных конуса расположены так, что осью каждого из них является образующая другого. Углы при вершинах в осевых сечениях этих конусов равны по . Найдите угол между двумя образующими, по которым пересекаются эти конусы.
Источники:
Пусть — общая вершина рассматриваемых конусов, и — их оси. Обозначим через и их общие образующие и через искомый угол . Описанная в задаче конфигурация имеет две плоскости симметрии: одна — — содержит оси конусов, другая — — содержит из образующие. Тогда эти плоскости перпендикулярны. Пусть прямая их пересечения.
Обозначим через угол в осевом сечении каждого из конусов. Так как является образующей для конуса с осью и наоборот, то . Кроме тогда, и .
Будем считать, что точки лежат в некоторой плоскости, перпендикулярной прямой и расположенной на расстояние от вершины . Тогда из пирамиды , в которой все плоские углы при вершине прямые, имеем
Тогда по теореме косинусов для треугольников и
Приравняем эти 2 выражения и домножим на квадраты косинусов.
Мы знаем, что , поэтому