Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На рёбрах правильной треугольной пирамиды с вершиной выбраны точки соответственно. Известно, что точки лежат в одной плоскости, причём . В четырёхугольнике расположены две окружности и , причём окружность касается сторон и , а окружность касается сторон и Прямые круговые конусы и с основаниями и соответственно расположены внутри данной пирамиды, причём вершина конуса лежит на ребре , а вершина конуса лежит на ребре .
а) Найдите
б) Найдите длину отрезка .
Источники:
Противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, так что он параллелограмм. Поскольку плоскость пересекает плоскости и по параллельным прямым и , эти прямые параллельны прямой пересечения этих плоскостей - то есть . Аналогично, NK . В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны друг другу, поэтому , а прямоугольник. Следовательно, радиусы окружностей и равны .
Отсюда также следует, что прямоугольник симметричен относительно плоскости , содержащей ребро и середину . Тогда и конусы и также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому - середина .
Обозначим через и середины сторон и соответственно, а через и центры окружностей и соответственно; эти четыре точки лежат на оси симметрии прямоугольника , параллельной , а значит - в плоскости . Более того, , то есть треугольники и подобны.
Пусть . Тогда . Поскольку , из подобия получаем , т.е. . Аналогично, . C другой стороны, так как конус прямой, имеем , причём . Отсюда , или , откуда . Значит, .
Итак, , и из подобия имеем
откуда и . Пусть пересекает в точке . Тогда высота треугольника , причём (поскольку ) . Значит, . Поскольку - прямоугольник, так что . Отсюда .
а) б)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!