Подсказка 1

Если мы хотим доказать, что что-то меньше чего-то, то нам надо взять это что-то максимальным, а после этого доказать, что даже в этом случае выполняется требуемое. Шар у нас лежит не выше уровня воды, при этом, он касается поверхности конуса. В какой ситуации тогда радиус шара будет максимальным(ну а значит и его объем)?

Подсказка 2

Предельное положение - это когда шар вписан в конус. А значит, окружность радиуса такого же как у шара вписана в сечение конуса, которое проходит через диаметр окружности в основании и вершину. Значит, мы можем взять за r - радиус шара, за h - высоту конуса и за R - радиус окружности в основании конуса и тогда картинка однозначно фиксируется и все через все выражается. Сделайте это и поймите связь между r и парой h и R. Чему тогда равно отношение объемов(ведь этого от нас и просят)?

Подсказка 3

Отношение объемов равно, в силу того, что (h - r)/r = sqrt(h^2 + R^2)/r, 4 * (h / r) * (1 - 2 * (h/r)). Мы хотим максимизировать объем, значит, надо взять максимум у этой параболы(у нас же относительно h/r - выражение представляется графически параболой), а она не больше 1/2.