Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах и равнобедренной трапеции с основаниями и отметили точки и соответственно. Оказалось, что — параллелограмм. Докажите, что где и — середины сторон и соответственно.
Отметим центр параллелограмма Он лежит на средней линии трапеции, поскольку Продлим до пересечения с и в точках и соответственно. Заметим, что и а значит потому что Также отметим, что Теперь видно, что по первому признаку, а значит у них равные высоты и проведённые к и В силу равнобедренности трапеции Но тогда а вместе с этим Следовательно, что и требовалось.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции
Докажите, что
Первое решение.
В силу параллельности
Отложим от точки отрезок
Тогда — параллелограмм (т. к. а
Значит, как односторонние углы при секущей .
Найдем угол
Получили, что Тогда — равнобедренный, в котором .
В итоге,
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Отложим на прямой за точку отрезок равный
Т.к. можем получить
Треугольник равнобедренный, т.к. поэтому
Получаем, что
Следовательно, значит, Но мы знаем, что поэтому — параллелограмм. Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — середина стороны параллелограмма . Точка делит его сторону на отрезки с длинами и так, что угол . Найдите .
Удвоим , получим точку .
Рассмотрим треугольник . В нем — высота и медиана одновременно, а значит, по признаку этот треугольник равнобедренный. Тогда по определению.
Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, так как по условию, по построению, как вертикальные. Тогда как соответственные.
как противоположные стороны параллелограмма.
.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки и — середины сторон выпуклого четырехугольника . Отрезки и делят диагональ на 3 равные части. Докажите, что — параллелограмм.
Обозначим точки пересечения и с диагональю как и соответственно, тогда Рассмотрим треугольник заметим, что — средняя линия, т.к. и Следовательно Аналогично получаем, что Значит, является параллелограммом.
Проведём диагональ — точка пересечения и т.к. — параллелограмм, то делит и пополам.
Но следовательно делит и пополам. — точка пересечения диагоналей четырехугольника делящая их пополам, значит, — параллелограмм.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две противоположные стороны четырёхугольника равны . Найдите среднюю линию, соединяющую середины двух других его сторон, если сумма углов при одной из них равна .
Проведём диагональ и отметим её середину
и — середины и соответственно, следовательно, и — средние линии треугольников и соответственно, тогда
Т.к. и и — внешний угол треугольника поэтому
Получаем
Следовательно, треугольник равносторонний, тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка, расположенная на основании трапеции, соединена с вершинами другого основания. Построенные отрезки делят трапецию на три треугольника равного периметра. Докажите, что данная точка — середина основания.
Пусть трапеция с основанием на котором выбрали точку Тогда достаточно доказать, что и — параллелограммы. Достроим треугольник до параллелограмма Тогда периметры треугольников и равны, поэтому равны периметры треугольников и Следовательно, так как иначе один из треугольников и лежит внутри другого и их периметры не могут быть равны. Поэтому — параллелограмм. Аналогично доказывается, что — параллелограмм. Тогда и будет серединой основания и к тому же
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка — середина стороны параллелограмма а точки и — основания высот треугольника опущенных из вершин и соответственно. Докажите, что
Первое решение. Пусть — точка пересечения прямых и Углы и равны как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей Аналогично равны углы и следовательно, треугольники и подобны по двум углам, кроме этого их соответственные стороны и равны, а значит и сами треугольники равны, то есть равны отрезки и что влечет равенство отрезков и
Наконец, в прямоугольном треугольнике отрезок является медианой, проведенной из прямого угла, а значит равен отрезку Аналогично что завершает доказательство.
Второе решение. Пусть и — середины отрезков и соответственно. Тогда — средняя линия треугольника Значит, и
Получаем, что и — параллелограммы, а, следовательно, и треугольники и равны по сторонам. Т.к. и — медианы в прямоугольных треугольниках и то и
(треугольник — р/б) (треугольник — р/б, ) Получаем, что по признаку что и доказывает утверждение задачи.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции , где угол равен сумме углов и На продолжении отрезка за вершину отложен отрезок Докажите, что
Отложим на луче отрезок Тогда четырёхугольник — параллелограмм, поэтому . Используя условие, получаем значит, треугольник — равнобедренный, Далее, поскольку получаем Так как прямая является биссектрисой угла и, тем самым, серединным перпендикуляром к основанию равнобедренного треугольника Поэтому точка K равноудалена от концов отрезка что и требовалось доказать
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В четырёхугольнике углы и — не острые. На сторонах и отмечены точки и соответственно. Докажите, что периметр четырёхугольника не меньше удвоенной длины диагонали
Подсказка 1
Попробуем доказать, что отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, не больше полусуммы противоположных сторон!
Лемма. Пусть и — середины сторон и четырехугольника . Тогда
Доказательство. Пусть — середина диагонали Тогда По неравенству треугольника для треугольника имеем:
после подстановки полученных равенств:
что завершает доказательство.
Вернемся к решению задачи. Пусть и — середины сторон и По лемме Ясно, что длина медианы, проведенной из вершины при неостром угле, не превосходит половины стороны, к котором она проведена, следовательно и Осталось заметить, что по неравенству ломанной верно неравенство
Подставляя полученные неравенства имеем
домножив данное неравенство на получим требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На боковой стороне трапеции нашлась точка такая, что Пусть прямые и пересекаются в точке а прямые и — в точке Докажите, что углы и равны.
Подсказка 1
Что хочется провести, что начать записывать цепочку равенств углов, начиная с DAM? На картинке много параллельностей, есть смысл обращаться к углам с помощью отрезков!
Пусть — точка пересечения прямых и точка — точка пересечения прямых и Из параллельности прямых и следует равенство углов
Достаточно показать, что что эквивалентно тому, что прямая касается окружности , то есть тому, что верно равенство произведений отрезков секущих а в силу , равенство
Осталось заметить, что, в силу подобия треугольников и
а в силу подобия треугольников и
Получаем
Домножив обе части равенства на произведение знаменателей, получим требуемое.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — вписанный четырехугольник, в котором биссектрисы углов и пересекаются на диагонали Докажите, что биссектрисы углов и пересекаются на диагонали
Подсказка 1
Так, биссектриса пересекает сторону в конкретной точке, хмм… А какой факт мы тогда помним при такой картинке?
Подсказка 2
Верно, в каком отношении биссектриса делит сторону. Тогда верны следующие равенства: BX/DX = AB/AD и BX/DX = BC/CD. Но тогда AC*CD=BC*AD. Значит, наш четырехугольник гармонический. Можно ли теперь, зная последнее равенство, провести обратные рассуждения в отношении двух других углов и диагонали AC?
Подсказка 3
Ну конечно можно, нужен обычный советский… Счет в отрезках! Действительно, если биссектриса угла D пересекла диагональ AC в точке Y, то что можно сказать про отношение AY/YC? А если подключить полученное ранее равенство AC*CD=BC*AD?
Используем свойство биссектрис получим
Вписанный четырёхугольник с таким свойством называется гармоническим. Аналогично из этого равенства можно получить пересечение биссектрис двух других углов на диагонали
Проведём биссектрису угла пусть она пересекла диагональ в точке тогда по свойству биссектрисы
Но ведь получили выше, что
Так что в итоге
Отсюдаc следует, что точка лежит на биссектрисе угла
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через точку лежащую вне окружности, проведены касательные и к этой окружности, а также прямая, пересекающая окружность в точках и Докажите, что точки и середина отрезка лежат на одной окружности.
Подсказка 1
Вот у нас в наличии на картинке два подобия. Так-так… А что можно сказать на основания касания? Как мы обычно переформировываем касание, если нам нужно вписанность (или, что то же самое, подобие)?
Подсказка 2
Верно, мы переформировываем в подборе треугольников. На нашей картинке - это пары (AXC и ACY) и (AXB и ABY), а это дает нам равенство отношений, а именно - BX/BY=AB/AY=AC/AY=CX/CY, а значит BXCY - гармонический. Хорошо, мы продвинулись в задаче, но как нам теперь связать середину диагонали XY и то, что четырехугольник гармонический?
Подсказка 3
Верно, ВС - симедиана треугольника XBY. Значит, следует равенство ряда углов. Осталось правильно отметить все равные углы(а их будет два множества попарно равных углов) и прийти к требуемому в задаче!
Пусть — середина Заметим, что — гармонический. Действительно, достаточно воспользоваться двумя подобиями Значит, будет в нём симедианой, откуда следует равенство углов (поскольку — медианы). Далее можно использовать
Отсюда и следует вписанность
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольнике опущен перпендикуляр на диагональ Точки и — середины отрезков и соответственно. Докажите, что угол прямой.
Подсказка 1
Давайте вспомним, как доказывать перпендикулярность, используя векторы? Конечно, мы должны доказать, что скалярное произведение MN и BM равно нулю. Для этого необходимо выразить эти векторы через попарно перпендикулярные: BC, BK, KC, AB
Подсказка 2
Так как скалярное произведение линейно по каждому аргументу, имеем, что MN * BM = 1/4 (BC * BK - KC * AB). Как используя перпендикулярность векторов (то есть BC * BA = KC * BK = 0) доказать, что BC * BK - KC * AB = 0?
Подсказка 3
Используйте, что BK = KC * ctg(α) и AB = BC * ctg(α), где ∠KBC = ∠BAC = α
Поскольку
то
Так как
Обозначим
Тогда
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан четырёхугольник и — середины сторон и соответственно. Известно, что и Докажите, что — параллелограмм.
Подсказка 1
Нам сказали про середины сторон, которые намекают нам на медиану...а что мы умеем делать с медианой в векторах?
Подсказка 2
Выражать ее через стороны треугольника! Т.е. каждый отрезок вида X'X мы можем выразить и записать систему равенств...что из нее видно?
Подсказка 3
Сумма векторов A'A + B'B + C'C + D'D = 0. Что это значит?
Подсказка 4
Из них можно составить четырехугольник с помощью параллельных переносов! Осталось лишь использовать равенства из условия и прийти к параллелограмму)
Так как точки и являются серединами соответствующих сторон, то
Складывая, получим, что
Значит, данные отрезки можно параллельно перенести так, чтобы образовался четырёхугольник. Поскольку а то полученный четырёхугольник является параллелограммом. Следовательно, прямые и параллельны и четырёхугольник — параллелограмм, откуда следует, что отрезки и параллельны и равны. Но тогда стороны и параллельны и равны, то есть — параллелограмм.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции длины диагонали и основания равны. Точка на луче такова, что На прямой взята точка такая, что Известно, что (При этом и Найдите градусную меру угла
Источники:
Подсказка 1
Множество равных отрезков да еще и параллельные прямые в трапеции. В такой картинке больше всего хочется найти все равные углы, которые есть, давайте так и поступим.
Подсказка 2
Если вы правильно воспользуетесь равнобедренными треугольниками и параллельностью AD и BC, то станет понятно, что ∠XCB = ∠XDA. Еще мы знаем, что BD = BC, то есть точки D и C находятся как бы на одной окружности с центром в точке B. Что хочется сделать в такой конструкции?
Подсказка 3
Давайте повернем рисунок против часовой стрелки относительно точки B на угол равный альфа. Куда в таком случае перешли точка C и прямая CX?
Подсказка 4
Точка C перейдет в точку D, а прямая CX в прямую AD. Вспомните, что BA=BY, и подумайте, куда в таком случае могла перейти точка Y. Рассмотрите все возможные случаи и найдите в каждом случае градусную меру угла ∠BYC
равнобедренный, поэтому Накрест лежащие углы равны: . Значит,
Повернём картинку на угол относительно точки так, чтобы точка перешла в точку Из доказанного выше равенства углов следует, что прямая при этом повороте перейдёт в прямую Точка при этом перейдёт в такую точку на прямой что расстояние от неё до точки равно Таких точек две. Одна из них точка а вторая — какая-то точка
Значит, или как односторонний угол. Это один из ответов.
Посмотрим теперь на точку равнобедренный, причём равен тому из углов и который является острым (случай прямого угла исключается значениями углов и которые даны в каждом их вариантов). Если тупой, точка очевидно лежит на луче и Если же острый, и точка находится на луче При этом во всех вариантах т.е. поэтому точка лежит ближе к чем , т.е. попадает на отрезок Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность вписан четырёхугольник Отметили центры окружностей, вписанных в треугольники Докажите, что отмеченные точки являются вершинами прямоугольника.
Лемма.
Если в треугольнике точка является центром вписанной окружности, то .
Доказательство.
Перейдём к решению задачи.
По лемме
Значит, лежат на одной окружности. Аналогично, лежат на одной окружности. Значит,
Аналогично можно доказать, что остальные углы четырехугольника равны , и значит, — прямоугольник.
Замечание.
Предложенный факт широко известен в узких олимпиадных кругах под названием Японская теорема о вписанном четырёхугольнике. Но в задаче без доказательства пользоваться им нельзя, потому что суть задачи в том, чтобы доказать этот факт. А вот леммой про угол между биссектрисами на олимпиаде пользоваться можно без доказательства.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм такой, что Пусть и — середины сторон и соответственно. Оказалось, что точки лежат на одной окружности. Найдите
Подсказка 1
Давайте попробуем понемногу раскручивать задачу. В планиметрии важно, что если есть какие-то не связанные между собой объекты, то надо их связать, потому что иначе работать с ними будет тяжело. Поэтому какой отрезок здесь у нас связан с картинкой минимально? Как можно это исправить?
Подсказка 2
Верно, PQ почти никак не причастен к конструкции. Давайте продлим его на такое же расстояние до пересечения с AD в точке T. Получим известную конструкцию с параллелограммом. Тогда наш искомый уголок можно перекинуть, и тогда нужно найти ∠ATP = ∠ADB. Какой ещё факт можно вспомнить теперь с точкой T, ещё учитывая вписанный четырёхугольник? А какие углы будут у него?
Подсказка 3
Да, мы ведь можем записать теорему о равенстве произведений отрезков секущих. То есть на самом деле мы можем выразить сторону PT через AT. Также ∠APT = 60 из вписанности. Получается, на самом деле в треугольнике APT мы знаем один из углов и две стороны. Остаётся только найти угол ATP любым удобным способом. Например, можно опустить высоту из T и найти неизвестный угол как сумму двух составляющих.
Пусть — середина стороны Продлим луч до точки такой, что Так как диагонали четырёхугольника
пересекаются в своих серединах, это параллелограмм; отсюда получаем, что точка лежит на прямой и
Отметим, что — параллелограмм ( равен и параллелен поэтому искомый С другой стороны, из
вписанности имеем
Кроме того, — средняя линия и параллельна сторонам и откуда получаем
Значит, треугольники и подобны по двум углам. Тогда то есть
Введём масштаб длин на чертеже так, чтобы отрезок имел длину тогда и а Мы знаем
один из углов треугольника и две его стороны; теперь можно воспользоваться любым из известных методов, чтобы
вычислить остальные его элементы (включая искомый угол Например, опустим высоту на прямую
Так как отрезки и окажутся по разные стороны от прямой В прямоугольном треугольнике
гипотенуза равна а угол напротив катета равен то есть сам катет равен Теперь ясно, что
прямоугольный треугольник равнобедренный, так как отношение гипотенузы к катету в нём равно Получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть — параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников и имеют общую хорду, перпендикулярную Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Источники:
Подсказка 1
Часто в геометрии полезно избавиться от ненужных объектов на картинке. В данном случае это общая хорда окружностей. Как можно переформулировать то что она перпендикулярна AD?
Подсказка 2
Это равносильно тому, что линия центров окружностей параллельна AD!
Подсказка 3
Теперь посмотрите на картинку повнимательнее: между двумя окружностями, которые должны быть равны, есть много общего...
Подсказка 4
Центры обеих окружностей лежат на линии центров, параллельной AD, а также центр первой лежит на...
Подсказка 5
Серединном перпендикуляре к AB! А центр второй - на серединном перпендикуляре к CD. Теперь просто нужно понять, что картинка (AB и центр первой окружности) равна картине (CD и центр второй окружности).
Первое решение.
Заметим, что линия центров перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым и Пусть - середина отрезка - середина отрезка Тогда и, поскольку прямые и параллельны. Далее, и при этом поэтому Заключаем, что четырёхугольник — параллелограмм по определению, следовательно Кроме того, поскольку отрезки и равны, то по двум катетам будут равны прямоугольные треугольники и следовательно, равны их гипотенузы и являющиеся также радиусами наших окружностей, что и требовалось доказать
Первое решение.
Предположим противное, радиусы окружностей и описанных около треугольников и соответственно, различны.
При параллельном переносе на отрезок перейдет в отрезок окружность перейдёт в окружность а прямая перейдёт в себя. Причём не может совпадать с поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров совпадающая с прямой перпендикулярна общей хорде Таким образом, прямая параллельна общей хорде окружностей и и, следовательно, перпендикулярна прямой Но тогда параллелограмм является прямоугольников, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей и равны.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В параллелограмме выбрали точку таким образом, что Докажите, что
Подсказка 1
Сложно доказывать равенство углов, которые расположены не "рядом". Поэтому давайте точку P перенесём на вектор AD, и получим точку E. Куда тогда перекидываются наши углы?
Подсказка 2
По построению APED - параллелограмм. Поэтому углы PAD и PED равны. Что это значит?
Подсказка 3
Четырёхугольник PCED - вписанный! Теперь легко понять, что происходит с парой углов, равенство которых нужно доказать.
Первое решение.
Проведем и
Тогда — параллелограмм, поэтому
Так как — вписанный четырехугольник и
Так как — параллелограмм, следовательно
Второе решение.
Через точку проведем и
Так как — параллелограмм,
по двум углам и
Так как
Учитывая, что по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,
что и требовалось доказать
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В трапеции расстояния от вершин и до боковой стороны равны 3 и 2 соответственно. Длина равна . Найдите площадь трапеции
Из условия мы можем найти площади и . Используем известный факт (см. рельсы Евклида), что : действительно, если — расстояние между основаниями трапеции (между параллельными прямыми и ), то . Тогда .