Лемма.

Если в треугольнике точка является центром вписанной окружности, то .

Доказательство.

Перейдём к решению задачи.

По лемме

Значит, лежат на одной окружности. Аналогично, лежат на одной окружности. Значит,

Аналогично можно доказать, что остальные углы четырехугольника равны , и значит, — прямоугольник.

Замечание.

Предложенный факт широко известен в узких олимпиадных кругах под названием Японская теорема о вписанном четырёхугольнике. Но в задаче без доказательства пользоваться им нельзя, потому что суть задачи в том, чтобы доказать этот факт. А вот леммой про угол между биссектрисами на олимпиаде пользоваться можно без доказательства.